第三章不完全信息静态博弈

第三章不完全信息静态博弈

-贝叶斯纳什均衡一不完全信息静态博弈和贝叶斯纳什均衡不完全信息博弈海萨尼转换不完全信息静态博弈的战略式表述和贝叶斯纳什均衡二贝叶斯纳什均衡应用举例三贝叶斯纳什均衡与混合战略均衡四机制设计理论与显示原理完全信息博弈完全信息博弈：假定博弈中的每个参与人对所有其他参与人的支付（偏好）函数都有完全的了解，并且所有参与人知道所有参与人知道所有参与人支付函数，即支付函数式所有参与人的共同知识。尽管完全信息在许多情况下是一个很好的近似，现实中许多博弈并不满足完全信息的要求。不完全信息博弈：不满足完全信息假设的博弈称为不完全信息博弈（或者说，至少有一个参与人不知道其他参与人的支付函数称为不完全信息博弈）。不完全信息博弈“空城计”街亭失守，司马懿引大军蜂拥而来，当时孔明身边只有一班文官，军士一半已经运粮草去了，只有2500军士在城中。众官听得这个消息，尽皆失色。孔明登城望之，果然尘土冲天，魏兵分两路杀来。孔明令众将旌旗尽皆藏匿，打开城门，每一门用20军士，扮作百姓，洒扫街道。而孔明羽扇纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前凭栏而望，焚香操琴。不完全信息博弈

司马懿自马上远远望之，见诸葛亮神态自若，顿时心生疑忌，犹豫再三，难下决断。又接到远山中可能有埋伏的情报，于是叫后军做前军，前军做后军，急速退去。司马懿之子司马昭问：“莫非诸葛亮无军，故做此态，父何故便退兵？”司马懿说：“亮平生谨慎，不曾弄险，今大开城门，必有埋伏，我兵若进，必中计也。”孔明见魏军退去，抚掌而笑，众官无不骇然。诸葛亮说，司马懿“料吾生平谨慎，必不弄险，疑有伏兵，所以退去。吾非行险，盖因不得已而用之，弃城而去，必为之所擒。”不完全信息博弈分析这个博弈参与人行动战略支付画出这个博弈的战略式或扩展式表述不完全信息博弈-信息的重要性被擒，？不被擒，？被擒，？不被擒，？司马懿诸葛亮弃城守城进攻撤退司马懿：兵多将广，但不知道自己和对方在不同行动策略下的支付；诸葛亮：处于劣势，但知道博弈的结构，比对方掌握更多的信息。计策：使用各种手段迷惑司马懿，为的是不让对方知道其策略的结果（支付）。迫使其认为，撤退比进攻好，降低其进攻的预期收益。如用概率论的术语来说，诸葛亮的做法是加大司马懿对进攻失败的主观概率，使司马懿认为进攻的期望收益小于撤退的期望收益。

司马懿关于自己策略的支付的信息是不完全的。不完全信息博弈

在信息不充分的情况下，博弈参与者不是使自己的支付或效用最大，而是使自己的期望效用或支付最大。如让你在50%的概率获得100元与10%的概率获得200元两者之间选择的话，前者的期望所的是50元，后者是20元，一般会选前者。不完全信息博弈100，100-50，00，00，0不接受求爱者求爱不求爱接受100，-100-50，00，00，0不接受被求爱者求爱者求爱不求爱接受被求爱者100x+（-100）（1-x）=0当x大于1/2时，接受求爱求爱博弈：品德优良者求爱求爱博弈：品德恶劣者求爱

被求爱者对于求爱者的品德的信息是不完全的。4000，40008000，00，80000，0不开发开发商A开发不开发开发-3000，-30001000，00，10000，0不开发开发商B开发商A开发不开发开发开发商B需求小的情况需求大的情况房地产开发博弈不完全信息博弈

市场需求信息是不完全的。40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400默许斗争默许斗争进入不进入在位者市场进入博弈：不完全信息进入者高成本情况低成本情况不完全信息博弈

进入者关于在位者成本信息是不完全的。

进入者的最优选择依赖于他在多大程度上认为在位者是低成本的。假定进入者认为在位者是高成本的概率是p，低成本的概率是（1-p），那么，进入者选择进入的期望利润是p（40）+（1-p）（-10），选择不进入的利润是0，因此，进入者的最优选择是：如果p>=1/5，进入，如果p<1/5，当p=1/5时，进入与不进入是无差异的，我们假定其进入。不完全信息博弈在生活中我们也会碰到这样的问题，比如一个乞丐向你乞讨，你愿意帮助别人，但不知道他是真的乞丐还是骗子，该如何决定呢？如果你喜欢与人为善，你可能愿意冒一点上当的危险，这不等于你愚蠢，而是你认为，帮助一个困境中的人比回绝一个骗子更重要。不完全信息博弈不完全信息：每一个参与人对所有其他参与人的（对手）的特征、战略空间及支付函数有准确的知识，否则为不完全信息。类似上述情况称为不完全信息博弈，即在不完全信息博弈中，至少有一个参与人不知道其他参与人的支付函数。第三章不完全信息静态博弈

-贝叶斯纳什均衡一不完全信息静态博弈和贝叶斯纳什均衡不完全信息博弈海萨尼转换不完全信息静态博弈的战略式表述和贝叶斯纳什均衡二贝叶斯纳什均衡应用举例三贝叶斯纳什均衡与混合战略均衡四机制设计理论与显示原理海萨尼转换40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400默许斗争默许斗争进入不进入在位者市场进入博弈：不完全信息进入者高成本情况低成本情况

进入者似乎在与两个在位者博弈，一个是高成本的在位者，一个是低成本的在位者；如果在位者有T种不同的成本函数在位者就相当于与T个不同的在位者博弈。

1967年以前，博弈论专家认为这样的不完全信息是没法分析的。海萨尼转换海萨尼在1967-1968年提出了一个处理不完全信息的方法-引入一个虚拟的参与人“自然”，自然首先行动，选择决定参与人的特征（如成本函数），参与人知道自己的特征，其他参与人不知道。这样不完全信息博弈就转换为完全但不完美信息博弈，可以利用标准的分析技术进行分析，这就是“海萨尼转换”。N高低[P][1-P]不进入进入不进入进入BB默许斗争默许斗争(0,300)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)进入者在位者在位者(0,400)该博弈转换为如图所示的完全但不完美信息博弈（如果博弈的所有信息集都是单结则称为完美信息博弈）。海萨尼转换

海萨尼转换已成为处理不完全信息博弈的标准方法，以后所说的不完全信息都是经过海萨尼转换后的博弈。自然在博弈的开始阶段选择包括参与人战略空间、信息集、支付函数等。将一个参与人所拥有的所有私人信息（即所有不是共同知识的信息）被称为该参与人的类型。

根据类型定义，允许参与人不知道其他参与人是否知道自己的类型。因此参与人的类型是其个人特征的完备描述。在一般博弈中参与人的类型由支付函数决定，以后可将参与人的支付函数等同于他的类型。海萨尼转换例如：市场进入博弈：在位者不知道进入者是否知道自己是高成本还是低成本，只知道进入者有p的概率知道自己的成本函数，（1-p）的概率不知道自己的成本函数。这种情况下，进入者也有两种类型：知道（在位者的成本）或不知道（在位者的成本）。即参与人的类型是其个人特征的一个完备描述。例如：在谈判中，甲方知道自己是强硬派或妥协派，乙方知道自己是否知道甲方是强硬派或妥协派，但甲方不知道乙方是否知道自己是强硬派还是妥协派，则甲方有两种类型：强硬派或妥协派，乙方有两种类型：知道或不知道。不完全信息意味着，至少有一个参与人有多个类型。海萨尼转换一般地，用表示参与人的类型，它属于一个可能的类型集。假定取自某个客观的分布函数，并假定只有参与人

i观测到自己的类型。类型依赖：每一个参与人的行动都依赖于它的类型。通过海萨尼转换，博弈开始时，所有参与人对“自然”的行动有一致的信念，即所有参与人知道（类型的概率分布函数），所有参与人知道所有参与人知道

，如此等等。此即“海萨尼公理”。换言之，在博弈开始时，所有参与人有关自然行动的信念是一致的。练习-将下列博弈进行海萨尼转换100，100-50，00，00，0不接受求爱者求爱不求爱接受100，-100-50，00，00，0不接受你求爱者求爱不求爱接受你求爱者品德优良的概率是p求爱博弈：品德优良者求爱求爱博弈：品德恶劣者求爱

被求爱者对于求爱者的品德的信息是不完全的。海萨尼转换用表示除之外的所有参与人的类型组合。这样，。我们称为参与人的条件概率，即给定参与人属于类型的条件下，他有关其他参与人属于的概率。根据条件概率规则，这里，是边缘概率。如果类型的分布是独立的，如果参与人i的类型只包含一个元素，即每个参与人只有一种类型，则该博弈退化为完全信息静态博弈，即完全信息静态博弈是完全信息动态博弈的特例（分布函数P是退化的）。如果参与人的类型是完全相关的，当参与人i观测到自己的类型时也就知道了其他参与人的类型，博弈就是完全信息的。通常假定参与人的类型是相互独立的。真正的“信息不对称”一个古董商发现一个人用珍贵的茶碟做猫食碗，于是假装对这只猫很感兴趣，要从主人手里买下，主人不卖，为此古董商出了大价钱。成交之后，古董商装做不在意地说：这个碟子它已经用惯了，就一块送给我吧。猫主人不干了：你知道用这个碟子，我已经卖了多少只猫了？不完全信息博弈的战略式和贝叶斯纳什均衡在不完全信息静态博弈中，参与人同时动，参与人的战略空间等同于它的行动空间。与完全信息静态博弈不同的是参与人的行动空间可能依赖于它他的类型即行动空间是类型依存的，如企业选择产量依赖于它的成本函数等。不完全信息和贝叶斯纳什均衡不完全信息和贝叶斯纳什均衡

不完全信息静态博弈的时间顺序为：⑴自然给定类型向量，其中，，参与人i

观察到，但参与人只知道，观察不到；⑵个参与人同时选择行动，其中⑶参与人的支付函数为。注意：在上面的定义中，虽然参与人的类型是私人信息，但是，行动空间和效用函数的结构是共同知识。换句话说，尽管其他参与人并不知道参与人的类型，但是，他们知道参与人的行动空间和支付函数是如何依赖于参与人的类型的。

不完全信息和贝叶斯纳什均衡说其他参与人不知道参与人i的支付函数指的是其他参与人不知道参与人i的支付函数究竟是不完全信息和贝叶斯纳什均衡定义：在静态贝叶斯博弈中，纯策略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存战略组合，其中每个参与人在给定自己的类型和其他参与人依存策略的情况下最大化自己的预期效用函数。换句话说，策略组合是一个贝叶斯纳什均衡，如果对每一参与人及的类型集中的每一个，满足亦即，贝叶斯纳什均衡处没有参与人有动力改变自己的策略，即使这种改变只涉及一种类型下的一个行动。不完全信息和贝叶斯纳什均衡混合战略贝叶斯纳什均衡概念可类似定义，均衡的存在性定理是完全信息静态博弈纳什均衡存在性定理的一个直接推广。N高低[P][1-P]不进入进入不进入进入BB合作斗争合作斗争(0,300)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)进入者在位者在位者(0,400)市场进入博弈在市场进入的例子里，均衡战略是：高成本的在位者选择默许，低成本的在位者选择斗争。只有当高成本的概率p=1/5时，进入者才选择进入，否则不进入。第三章不完全信息静态博弈

-贝叶斯纳什均衡一不完全信息静态博弈和贝叶斯纳什均衡不完全信息博弈海萨尼转换不完全信息静态博弈的战略式表述和贝叶斯纳什均衡二贝叶斯纳什均衡应用举例三贝叶斯纳什均衡与混合战略均衡四机制设计理论与显示原理不完全信息库诺特模型企业1企业2参与人：企业1、企业2；行动顺序：同时行动不完全信息：企业1单位成本c1是共同知识，企业2的成本可能是c2l或c2h，企业1只知道c2=c2l的可能性是1/2，这是共同知识。不完全信息库诺特模型qi：第i个企业的产量Ci：代表第i个企业的成本假定逆需求函数为：第i个企业的利润函数为：企业1企业2假定a=2，c1=1，c2l=3/4，c2h=5/4。给定企业2知道企业1的成本，企业2将选择q2最大化利润函数：t=a-c=a-3/4=5/4或t=a-5/4=3/4依赖于企业2的实际成本。从最优化一阶条件可得企业2的反应函数为：企业1企业2不完全信息库诺特模型不完全信息库诺特模型

也就是说，企业2的最优产量不仅依赖于企业的产量，而且依赖于自己的成本，令q2l为t=5/4时企业2的最优产量，q2h为t=3/4时企业2的最优产量。那么，

q2l=1/2*（5/4-q1）；q2h=1/2*（3/4-q1）企业1不知道企业2的真实成本从而不知道企业2的最优反应究竟是q2l还是q2h，因此企业1将选择q1最大化下列利润函数：不完全信息库诺特模型最优化一阶条件得企业1的反应函数为：是企业1关于企业2产量的期望值

均衡意味着两个反应函数同时成立，解两个反应函数得贝叶斯均衡为：

不完全信息情况下公共产品的提供现在来讨论不完全信息下公共产品的自愿提供问题。1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0参与人2提供不提供参与人1提供不提供假定公共产品的好处（每人1单位）是共同知识，但每人的提供成本只有自己知道（成本是参与人的类型）。和具有相同的、独立的定义在上的分布函数，且是共同知识。不完全信息情况下公共产品的提供

是从到{0，1}的一个函数，其中0表示不提供，1表示提供。参与人的支付函数为：

贝叶斯均衡是一组战略组合，使得对于每一个和每一个可能的，战略最大化参与人的期望效用函数。令为均衡状态下参与人提供的概率。最大化行为意味着，只有当参与人预期参与人不提供时，参与人才会考虑自己是否提供。因为参与人不提供的概率是，参与人提供的预期收益是，因此只有当时，参与人才会提供，即如果，；如果，。

这就意味着，存在一个分割点使得只有当时，参与人才会提供。类似的，存在一个使得只有当时，参与人才会提供。同理：由上两式可得：不完全信息情况下公共产品的提供假设：1212信息不完全时，公共物品提供的概率：2/32/3不完全信息情况下公共产品的提供信息完全的情况下：1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0参与人2提供不提供参与人1提供不提供若c1≤1,c2≤1类似斗鸡博弈。若c1>1,c2<1类似智猪博弈。若c1>1,c2>1类似囚徒困境。1212信息完全时，公共物品提供的概率3/4.信息不对称降低了交易成功的概率。不完全信息情况下公共产品的提供一级密封价格拍卖一级密封价格拍卖（thefirst-pricesealedauction）是许多拍卖方式中的一种。在这种拍卖中，投标人（bidders）同时将自己的出价写下来装入一个信封，密封后交给拍卖人，拍卖人打开信封，出价最高者是赢家(获得拍卖品)，并按他的出价支付。这里，每个投标人的策略是根据自己对物品的评价和对其他投标人评价的判断来选择自己的出价，赢者的支付是他对物品的评价减去他的出价，其他投标人的支付为零。

首先考虑两个投标人的情况，。令是投标人的出价，为拍卖品对投标人的价值。假定只有自己知道，因而是投标人的类型，但两个投标人都知道独立地取自定义在区间上的均匀分布函数。投标人的支付为一级密封价格拍卖一级密封价格拍卖一级密封价格拍卖贝叶斯均衡的应用举例4.双方叫价拍卖在双方叫价拍卖（doubleauction）中，同一物品的潜在卖方和买方同时叫价，卖方报价同时买方出价。然后，拍卖人选择一个价格使市场出清：所有报价低于的卖方卖出，所有报价高于的买方买进；且价格为时的总供给等于总需求。卖者提供该商品的成本是，该商品对买者的价值是，买者和卖者同时选择出价和要价，分别为贝叶斯均衡的应用举例

现在考虑不完全信息下，即只有卖者知道，只有买者知道（因而是卖者的类型，是买者的类型）。假定和在上均匀分布，分布函数是共同知识。在这个贝叶斯博弈中，卖者的战略（要价）是的函数；买者的战略（要价）是的函数。战略组合是一个贝叶斯均衡，如果下列两个条件成立：贝叶斯均衡的应用举例现假定：贝叶斯均衡的应用举例贝叶斯均衡的应用举例解两个一阶条件得均衡线性战略为：11/41/43/413/4在均衡线性战略下，当c>3/4,卖者的要价ps=1/4+2c/3低于成本，但高于买者的最高出价pb(1)=1/12+2/3=3/4，因此卖者低于成本出售的情况不会出现；类似地，当v<1/4，买者的出价高于其价值，但低于卖者的最低要价ps(0)