第四章 过渡过程的经典解法

过渡过程的经典解法电容和电感元件一阶电路二阶电路

过渡过程的经典解法电容和电感元件电容元件电感元件电容、电感的串联和并联过渡过程的经典解法电容元件电容在实际电路中很常见，它主要分为独立电容元件和器件的寄生电容，独立电容元件由不同的电介质构成，通常有云母、陶瓷、氧化膜、及其它电介材料（如氧化铝等）如图4.1-1所示，器件的寄生电容通常出现PN结上，如MOS管、BJT，实际上在电路中只要有电荷储存与释放的功能就存在电容。电容的用途也非常广泛。

过渡过程的经典解法

图4.1-1电容元件示意图

过渡过程的经典解法电感元件

过渡过程的经典解法电容、电感的串联和并联

过渡过程的经典解法一阶电路一阶电路的零输入响应一阶电路的零状态响应一阶电路的完全响应一阶电路的三要素分析法过渡过程的经典解法一阶电路的零输入响应对于一阶电路，可用一阶微分方程来描述，设电路的输出响应为，电路的初储能（）用起始状态（为常数）表征，即过渡过程的经典解法零输入响应及其求解方法

由图（a）可知，开关转换后初瞬，即时，电容初始电压为即得这就是电容两端在时的电压。因而电阻中电流由开关转换前的零值一跃而为开关转换后的初瞬值。而充电到的电容减小到零，电流也随之从减小到零。过渡过程的经典解法由开关转换后得电路图（b），根据KVL得又（非关联参考方向）得微分方程为初始条件为一个一阶齐次微分方程，它的解为指数函数，设它的特征方程为过渡过程的经典解法特征根为所以有故有注意，在时（即开关转换时）是连续的，没有跃变。可立即求得过渡过程的经典解法讨论零输入响应：在给定电容电压初始值的情况下，电容C越大，电容中储存的电荷量越多，放电需要的时间越长；电阻R越大，放电电流越小，放电需要的时间也越长。因此电容电压和电流衰减的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。另外由于电路中的零输入响应是随时间衰减的指数函数，函数中的指数必须是无量纲的，因此乘积具有时间的量纲，以表示故称为该电路的（指开关转换后）的时间常数。电容电压和电流衰减的快慢取决于电路的时间常数。过渡过程的经典解法以电压为例，当时，有当时，有

可见当时，电压已下降到初始电压值的1.84%以下，一般已可以近似认为衰减到零（理论上，仅当时，）。实际上，由于过时曲线上的点作衰减曲线的切线，必交于时间轴上的点如图所示。因而越小，与衰减越快；越大，与衰减越慢。过渡过程的经典解法另一种典型的一阶电路为RL电路，下面就来研究它的零输入响应。设在时电路图如（a）所示，开关K1与b端相接，开关K2打开，电感L由电流源供电，由于为常数，即这就是图（a）中电感电流和电感电压的开关转换前的稳态值。过渡过程的经典解法转换后，由图（b）可得而又由VCR得有初始条件有可解得其中为图（b）电路的时间常数。过渡过程的经典解法电感电压为、波形如下图所示，它们都是随时间衰减的指数函数曲线。过渡过程的经典解法一阶电路的零状态响应对于一阶电路，设电路激励信号为，电路的起始状态为。则该非齐次微分方程的零初始条件的解，就叫作电路的零状态响应，用表示。过渡过程的经典解法

下面通过具有零起始状态的RC电路，来讨论一阶电路的零状态响应及其求解方法。如图4-2-5所示。先从电路概念上定性讨论开关转换后的变化趋势。在转换前C被开关K短路，所以，，，电路处于初始稳态。在开关转换后初瞬，电容电压不会跃变，即，电容如同短路，又因，可知在时，。显然，在时电流源电流全部流向电容C，对电容C充电，即过渡过程的经典解法这时，电容电压将发生变化，其变化率为 以后，电容电压由零逐渐增长，流过电阻R上的电流随之增长。由于总电流恒为，使得电容器的充电电流以逐渐减小，直至最后时，全部电流流过电阻，，电容器如同开路，充电停止，电容电压不再变化，即

电路达到了另外一种稳态。过渡过程的经典解法现在来定量计算零状态响应，在开关转换后，根据KCL可得电路方程为整理得（4.2.10）初始条件为 方程式（4.2.10）是一个一阶非齐次线性微分方程，其完全解由对应的齐次方程通解和非齐次微分方程的特解组成，即过渡过程的经典解法首先由齐次方程求通解。可求出通解为，（4.2.11b）然后由非齐次方程求特解。 激励为常量，特解设为常数，即，并将其代入式（4.2.10）可得

即得：（4.2.11c）所以，原方程的全解为过渡过程的经典解法最后由初始条件确定全解中的系数，当时，，可得故 由此可得电路的零状态响应为

这里

、波形如图4-2-6所示。过渡过程的经典解法另一种求解零状态响应的典型电路是电压源通过电阻对具有零初始条件的电感在时充电如图4-2-7（a）所示。即电路零状态响应的意义可用图4-2-7（b）表示。过渡过程的经典解法一阶电路的完全响应对于一阶电路，可以表示为则该非齐次常微分方程的非零初始条件的解，就叫作电路的完全响应。完全响应的解为：过渡过程的经典解法下面举例说明一阶电路完全响应的求解方法。由图4-2-8可知，开关转换后，按KCL可得方程为：

（4.2.15a）初始条件为（4.2.15b）方程式（4.2.15a）的解为（4.2.16a）过渡过程的经典解法代入初始条件有所以完全响应为（4.2.16b）由式（4.2.15b）可见，当时，即得零输入响应（4.2.16c）如果，即得零状态响应（4.2.16d）所以式（4.2.15b）也可写为（4.2.16e）过渡过程的经典解法响应可改写的为图4-2-9所示响应可改写的为图4-2-10所示过渡过程的经典解法一阶电路的三要素分析法

设一阶电路，在电路中动态元件的初始储能和恒定输入激励信号共同作用下的完全响应为，则电路的完全响应为零输入响应零状态响应或自由响应强迫响应由此可见，电路的完全响应由、、三个要素决定，只要求出这三个要素，即可求得一阶电路在恒定输入信号激励下的完全响应。过渡过程的经典解法二阶电路线性RLC串联电路的零输入响应线性RLC串联电路的零状态响应线性RLC串联电路的完全响应一般二阶电路的响应过渡过程的经典解法线性RLC串联电路的零输入响应对图4-3-1所示电路列出KVL方程（4.3.1）

若取电流作为要讨论的零输入响应，则将上式对求导一次，并注意到则有（4.3.2）给定的初始条件是（4.3.3）（4.3.4）过渡过程的经典解法将代入式（4.3.1），得（4.3.5）以式（4.3.4）和（4.3.5）为初始条件的微分方程（4.3.2）的解便是零输入响应。令此解为（4.3.6）于是有（4.3.7）和（4.3.8）将它们代入式（4.3.2），则式（4.3.2）的特征方程为（4.3.9）过渡过程的经典解法特征根为（4.3.10）特征根又称为固有频率。若令（4.3.11）（4.3.12）则特征根又可写成（4.3.13）（4.3.14）二阶齐次常微分方程的通解即零输入响应为（4.3.15）过渡过程的经典解法（1），即的情况两个固有频率和为不等负实根，电容器在全部时间内一直是在放电。电容器的这种单向放电称为非周期性（非振荡性）放电或者称为过阻尼放电。

过渡过程的经典解法（2），即的情况 两个固有频率和为相等的负实数，即。响应为电阻值称为临界电阻。电感器电压电容器电压过渡过程的经典解法（3），即的情况 两个固有频率和为一对共轭复数。则有（4.3.30a）和（4.3.30b）响应为（4.3.31）待定常数和可根据给定的初始条件式（4.3.4）和（4.3.5）求出。将及代入式（4.3.31），得（4.3.32）过渡过程的经典解法将对求导，有

再将初始条件及代入，得

（4.3.33）由式（4.3.32）和（4.3.33）可解得（4.3.34）

（4.3.35）过渡过程的经典解法于是（4.3.36）根据可求出电感器的电压（4.3.37）其中

（4.3.38）（4.3.39）（4.3.40）过渡过程的经典解法根据KVL可知从，和的表达式中都含有可以看出，，和的放电情况是一种周期性（振荡性）的衰减放电，或称欠阻尼放电。过渡过程的经典解法过渡过程的经典解法结论： （1）当电路的固有频率位于平面的负实轴上，电路的零输入响应是衰减非周期性（非振荡性）的，或是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型的）。 （2）当电路的固有频率位于左半平面内，但不在负实轴上，电路的零输入响应是衰减周期性（振荡性）类型的，或是欠阻尼型的。 （3）当电路的固有频率位于平面的虚轴上，电路的零输入响应是无衰减周期性（振荡性）类型的；或是无阻尼型的。再定义一个表征电路固有特性的辅助参数（品质因数）过渡过程的经典解法线性RLC串联电路的零状态响应1、线性串联电路的阶跃响应列出电路的KVL方程为过渡过程的经典解法则将代入上式，得出

（4.3.47）给定的初始条件为（4.3.48）（4.3.49）其中（4.3.50）根据阶跃函数的定义，式（4.3.47）在时可以写成（4.3.51）过渡过程的经典解法电路在阶跃电压输入下，经过相当长时间之后，电路达到稳态，电容器的端电压维持恒定，因此及由式（4.3.51）可知，稳态分量（4.3.53）暂态分量是二阶齐次微分方程（4.3.54）的解。设此解为：（4.3.55）将它代入式（4.3.54），可得特征方程为过渡过程的经典解法特征方程的根，即电路的固有频率为（4.3.56）若令和则式（4.3.56）又可以写成（4.3.57）（4.3.58）于是，可求得电容器端电压的暂态分量（4.3.59）将式（4.3.53）和（4.3.59）代入式（4.3.52），便有（4.3.60）将初始条件代入式（4.3.60），得（4.3.61）过渡过程的经典解法将式（4.3.60）对求导，又有在将初始条件代入上式，得（4.3.62）由式（4.3.61）和（4.3.62）可定出常数和，即，将其代入式（4.3.60），可得到的表达式：（4.3.63）同时可求出过渡过程的经典解法根据及的相对大小，也可以分为（），（），（）和（）四种情况。（1），即的情况过渡过程的经典解法（2），即的情况 有进而又可根据和导出过渡过程的经典解法（3），即的情况此时电路的固有频率为一对共轭复数：（4.3.69）（4.3.70）将式（4.3.69）和（4.3.70）代入式（4.3.63），便有（4.3.71）

根据关系式，式（4.3.71）可以写成下列形式：（4.3.72）过渡过程的经典解法若令，则上式中的和又可以分别表示为，于是，式（4.3.72）又可写成（4.3.73）

根据和可导出

（4.3.74）

（4.3.75）过渡过程的经典解法（4），即的情况 此时因，而，电路的两个固有频率是一对共轭虚根，即和因为，此时的将，和的值代入式（4.3.73），（4.3.74）和（4.3.75），可得（4.3.76）（4.3.77）（4.3.78）

过渡过程的经典解法2、线性定常串联电路的冲激响应它应是满足微分方程（4.3.79）和初始条件为（4.3.80）（4.3.81）的解。根据式（4.3.79）可知应是一个连续函数。又有（4.3.82）和（4.3.83）过渡过程的经典解法现在来确定冲激电压源为图4-3-13上的电路所建立的初始状态。根据式（4.3.82）和（4.3.80），有（4.3.84）对方程（4.3.79）两边进行到的积分，有过渡过程的经典解法即（4.3.85）将式（4.3.81），（4.3.82）和（4.3.83）代入上式，可得出

即（4.3.86）式（4.3.84）和（4.3.86）即为初始状态。这样，时电路的微分方程为（4.3.87）和初始条件及过渡过程的经典解法齐次微分方程（4.3.87）和初始条件可等效于具有由式（4.3.80）和（4.3.81）所给定初始条件的非齐次常系数线性微分方程（4.3.79）；即可通过解齐次微分方程（4.3.87）来求冲激响应。对于方程（4.3.87），其解可以写成