第八讲+弹性力学基础第一部分

第四章弹性力学基础胡才博中国科学院大学地球科学学院中国科学院计算地球动力学重点实验室提纲4.1弹性力学的研究内容4.2弹性力学的发展简史4.3弹性力学的基本假设4.4弹性力学的求解方法4.5弹性力学的有限元实现4.6弹性力学的应用实例4.1弹性力学的研究内容弹性力学(弹性理论)，是固体力学的一个分支学科，主要研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、变形或位移。2.研究对象——弹性体。主要研究其应力、变形或位移等效应。3.引起变形等效应的原因：外力作用；边界约束（固定约束、弹性约束和边界上的强迫位移等）；温度变化。理论力学——研究刚体的静、动力学（约束力、速度、加速度）。材料力学——研究杆状构件在拉、压、剪、弯、扭状态下的应力和位移。弹性力学——一般平面问题、板、壳和实体结构等的应力、变形和位移分析。弹性力学是学习后续课程：工程振动、塑性力学、断裂力学和有限元方法等课程的重要基础。与其它学科的关系启蒙时代(1600-1700)大师耕耘(1700-1880)体系形成(1880-1950)分支发展(Since1950)北京航空航天大学讲义北京航空航天大学成立于1952年4.2弹性力学的发展简史启蒙时代(1600-1700)弹性力学早期根植于数学和物理研究中，自牛顿时代以来逐渐分离出来。最初研究的动机是为了能够理解断裂行为并进行有效的控制。弹性关系的概念最先为英国科学家胡克提出，胡克定律，即“拉力与伸长成正比”发现于1660年，发表于1678年。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未表达为应力和应变的形式。4.2弹性力学的发展简史大师耕耘(1700-1880)伯努利兄弟（瑞士）引入了应力和应变的概念。1727年，欧拉（瑞士）给出应力、应变之间的线性关系，即σ=Eε。1807年，托马斯·杨发展了一个类似的概念，因此，现在通常称比例系数E为杨氏模量。1774年，欧拉还分析了压杆失稳问题。作为表明弹性力学历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触发了两个重要的数学概念。其一是“变分原理”；其二是“分岔”的概念，它是非线性分析的中心内容。4.2弹性力学的发展简史大师耕耘(1700-1880)1821年，纳维尔发表了题为“弹性体平衡和运动方程”的论文，给出了弹性体位移的控制方程形式。1829年，法国科学家泊松考虑了单向拉伸时的横向收缩问题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。1822年，柯西在三维情况下规范了应力的概念。其他贡献包括：提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理，提出主应力和主应变的概念，推广了胡克定律，以及建立了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件。4.2弹性力学的发展简史柯西还给出了几何方程。在十九世纪的中后期，1853年，他提出了半逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转问题的精确解，从而检验了材料力学中在一定假设简化下得到的近似解的准确程度。此外，他提出了著名的圣·维南原理，电磁学的奠基人之一，物理学家基尔霍夫多才多艺，在弹性力学领域也颇有建树。1876年，他出版了著作“力学”，将弹性力学的应用领域扩展到一种新的几何构形——板，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分法导出了控制方程。随着板和壳结构出现在土木和机械工程领域，这一理论得到了广泛的应用。电磁学的另一奠基人，亥姆霍兹在弹性力学领域同样功勋卓著。他建立了弹性自由能的概念，还利用亥姆霍兹变换得到无限大弹性体中的应力波解。4.2弹性力学的发展简史体系形成(1880-1950)代表性著作是勒夫的“关于弹性力学数学理论的论述”，该部著作的问世同时标志着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力学。弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于铁木辛柯。他在弹性地基梁、铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨大的贡献。4.2弹性力学的发展简史分支发展(Since1950)二十世纪的后半期，弹性力学的各个分支蓬勃发展。比如，弹性稳定性理论、断裂力学、有限元方法、损伤力学、细观力学和复合材料力学等等。4.2弹性力学的发展简史（1）连续性假设——弹性体是一种密实的连续介质，在整个变形过程中保持连续性。物体内的一些物理量，如应力、应变和位移等可用坐标的连续函数表示它们的变化规律。离散系统4.3弹性力学的基本假设（2）完全（线）弹性假设——物体完全弹性的，服从Hooke定律：应力应变关系是线性的（成正比），弹性常数不随应力或形变的大小而变化。4.3弹性力学的基本假设（3）均匀性假设——物体由同一材料组成，不同点处的弹性性质处处相同，物体的弹性不随位置坐标而变化。（4）各向同性假设——物体内同一点的弹性性质在所有方向上都相同。（5）小变形假设——位移和形变是微小的，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，考察物体的应变和位移时，可略去高阶小量。4.3弹性力学的基本假设4.4弹性力学的求解方法(1)弹性力学的基本方程

平衡方程

几何方程

本构方程x=2Gx+

xy=Gxyy=2Gy+

yz=Gyzz=2Gz+

zx=Gzx

弹性力学的基本方程按边界条件分类a.位移边界问题b.静力边界问题

c.混合边界问题(2)弹性力学问题分类圆筒受内外水压力作用（静力边界问题）重力坝受水压力作用（混合边界问题）

应力平衡微分方程静力边界条件

变形(位移与应变)变形协调方程(或位移单值连续)位移边界条件物理方程求解物理量(3)弹性力学的基本解法或本构方程以位移作为未知数几何方程求应变物理方程求应力x=2Gx+

xy=Gxyy=2Gy+

yz=Gyzz=2Gz+

zx=Gzx平衡方程a.位移解法几何方程方程

本构方程其中

是Lplace算子，（1）静力边界条件使用位移表示（2）位移边界条件由位移表示的平衡微分方程拉梅-纳维方程法国科学家拉梅(Lamè，1795—1870年)在得到上述方程后，自己当时并不知道这方程有什么应用价值，很多年后，这方程才用于解题。应力边界条件：用位移表示满足平衡微分方程、应力协调方程和应力边界条件此式为Beltrami-Michell于1899年导出的应力形式表示的协调方程。存在体力b.应力解法在体力为零或常量时，早在1892年就被意大利科学家贝尔特拉密所导出：6个应力分量满足平衡微分方程，满足应力相容方程，并在边界上满足应力边界方程。例1（位移解法）半无限体（密度为）受均布力q作用，求应力场和位移场。根据问题的对称性，位移应只是z的函数

u=0,v=0,w=w(z)体积应变是代入拉梅-纳维方程应力是x=y=g(z+A)z=g(z+A)xy=yz=zx=0应用边界条件求待定常数l=m=0,n=-1-zz=0=q边界条件是：A=q/g

解得：位移边界条件是例2：半空间体在边界上受法向集中力设有半空间体，体力不计，在水平边界上受有法向集中力P。这是一个轴对称的空间问题，而对称轴就是力P

的作用线。因此，把z轴放在P

的作用线上，坐标原点就在P

的作用点。建立极坐标系统。位移解法：拉梅方程：体积应变1885年，法国力学家布西涅斯克(J·Boussinesq)找到了方程的两组特解，即因此，拉梅方程的通解为：考虑几何方程和本构方程应力：应力边界条件：地表：z=0z=0(1)水平边界上任一点的沉陷为(2)当z=0，R=r时位移解应力解存在性：可从物理现象上理解唯一性：假设两组不同的解，比较它们的差别可证明。假设在同一条件下存在两组不同的解

和解的性质考虑两组解的差值：将它们对应的平衡方程、静力边界条件和位移条件也相减，得到：即对应于弹性体处于无体力、无面力的自然状态，因此必有

即由本构方程知应变也相等。仅有应力边界条件时，应力和应变解具有唯一性。在另两类问题（位移边界和混合边界）中，位移也是唯一的。唯一性定理的重要意义：为逆解法和半逆解法提供了理论依据。逆解法就是预先选取一组位移或应力函数，验证是否满足基本方程和边界条件，如果满足，就是问题的正确答案。半逆解法就是先假设一部分未知量为已知，然后利用基本方程和边界条件，确定其余的未知量。（1）局部作用原理

作用在物体局部表面的自平衡力系，仅对局部范围产生显著影响。圣维南原理（2）静力等效原理：静力等效的两套力系，物体应力只在力作用附近有显著差别两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和。叠加原理是由基本方程与边界条件的线性性质所决定，适用于线弹性和小变形情况。对大变形，弹性稳定问题和弹塑性力学问题不适用。叠加原理地震断层同震位错反演Shen