《平面向量的概念》设计

《平面向量的概念》教学设计【教学目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.4通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.【教学重点】相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示.【教学难点】平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【课时安排】1课时【教学过程】1，向量的概念和表示法⑴概念：既有大小有方向的量称为向量.⑵向量的表示：表示法几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小箭头所指的方向表示向量的方向字母表示小写字母表示:手写必须加箭头大写字母表示:向量表示为起点为终点思考1.什么样的线段是有向线段？向量是有向线段吗？提示：规定了起点和终点的线段是有向线段，用有向线段表示向量但向量不是有向线段.2.向量的长度（或称为模）与特殊向量⑴向量长度的定义：向量的大小叫做向量的长度⑵向量长度的表示：向量的长度分别表示为⑶特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记为0②长度为1的向量叫做单位向量.思考2.所有的单位向量都相等吗？零向量只有一个方向吗？提示：单位向量的大小是确定的，但方向不确定.故不一一定相等.零向量的方向是任意的.向量思考3.若能否得到提示：能推得或小试牛刀1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有()个个个个C【解析】②③④⑤是向量.2.下列说法正确的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小D【解析】A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小所以A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.3.设是正方形ABCD的中心，则向量是（）A相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量D【解析】这四个向量的模相等.4.若为任一非零向量，是模为1的向量，则下列各式：①②③④其中正确的是（）A①④B.③C.①②③D.②③B【解析】a为任一非零向量，故|a|>0例题讲解平面向量的基本概念例1给出下列命题：①是错误的,若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②是错误的，若，则或；③是正确的，若A，B，C，D是不共线的四点，且则ABCD为平行四边形；④是错误的,的充要条件是且；其中真命题的序号是________．【思路点拨】由平面向量的基本概念进行判断→注意重视零向量的影响→单位向量也是不可忽视的特殊向量.【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．③是正确的，因为所以且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③方法总结在判断与向量有关的命题真假时，既要立足向量的数模的大小又要考虑其形方向性注意与数量的区别数量可以比较大小，但向量具有方向性不能比较大小.向量共线的含义并不同于平面几何中的”共线”共线平行向量可以平移到同一直线上但不能说就在一条直线上.当堂练习1.给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.其中正确命题的序号是()A.②③ B.①②C.③④ D.②④答案:A解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵,∴且,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则,且方向相同,因此.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.平行向量与相等向量例2如图，的三边均不相等,分别是边的中点.⑴写出与共线的向量。⑵写出与的模大小相等的向量。⑶写出与相等的向量.思路点拨：:利用三角形中位线定理解决线段的平行和相等问题,再将线段的平行¸相等分别转化为共线的向量，相等的向量。解析⑴分别是的中点，所以且又因为为的中点，所以与共线的向量为，，，，，，⑵写出与的模大小相等的向量有：，，，，.⑶写出与相等的向量量:，.方法总结寻找相等向量的方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量.寻找共线向量的方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与相反的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.当堂练习2.设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（）A.B.C.与共线D.D解析：如图。∵与方向相同，长度相等，∴A正确∵三点在一条直线上，，∴B正确∵，与共线，∴C正确∵，与方向不同，∴，D正确错误.例3一辆消防车从地去地执行任务,先从地向北偏东方向行驶到地然后从地沿北偏东方向行驶到达地，又从地向南偏西方向行驶才到达地.⑴在如图所示的坐标系中画出；⑵求地相对于地的位置向量.思路点拨：:按要求用直尺作出向量·作图时,既要考虑向量的大小,又要考虑向量的方向和始点·解析:⑴向量如图所示⑵由题意知所以，且所以四边形是平行四边形.所以因为地在地北偏东方向处,所以地在地北偏东方向处.所以的方向为北偏东方向,方法总结向量的方向是几何中“角度”的体现，反映了向量“形”的特征。而向量的长度反映的是代数中数的特征因此向量是数与形的完美结合是联系代数与几何的纽带在解决向量问题时往往需要画出图形根据图形找出其中的数量关系。当堂练习3一辆汽车从点出发向西行驶了到达点，然后又改变方向，向西偏北方向行驶了到达点,最后又改变方向,向东行驶了到达点。⑴作出向量，⑵求汽车从点到点的位移。解析：⑴，如图所示：⑵由题意，易知与方向相反，故与共线，又所以所以四边形为平行四边形所以所以课堂小结1.向量是既有大小又有方向的