上海建桥学院《概率论与数理统计》课件-第5章样本与统计量

2021/7/221第五章样本与统计量1.简单随机抽样2.统计量的分布3.几种常用分布的定义上海建桥学院《概率论与数理统计》2021/7/222引言

随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计性规律。

概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知是基础上得出来的。

但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。2021/7/223引言例如：某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；电视机的使用寿命服从什么分布是未知的；产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p是未知的；

数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。2021/7/224

从第五章开始，我们学习数理统计的基础知识。数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推断.数理统计所包含的内容十分丰富，本书介绍其中的参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.第五章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。学习的基本内容2021/7/225样本与统计量总体与样本

在数理统计中，把研究对象的全体称为总体（population)或母体，而把组成总体的每个单元称为个体。抽样

要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽样。2021/7/226样本与统计量子样

子样是n个随机变量，抽取之后的观测数据称为样本值或子样观察值。

在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X进行一次随机试验，每次抽取的n个个体，称为总体X的一个容量为n的样本（sample）或子样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。2021/7/227随机抽样方法的基本要求独立性——即每次抽样的结果既不影响其余各次抽样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。

满足上述两点要求的子样称为简单随机子样.获得简单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样.代表性——即子样()的每个分量与总体具有相同的概率分布。

从简单随机子样的含义可知，样本是来自总体、与总体具有相同分布的随机变量.2021/7/228简单随机抽样

例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则这是一个简单随机抽样。

但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成是简单随机抽样。2021/7/229统计量

定义设（）为总体X的一个样本，为不含任何未知参数的连续函数，则称为样本（）的一个统计量。则例如：设是从正态总体中抽取的一个样本，其中为已知参数,为未知参数，是统计量不是统计量2021/7/2210几个常用的统计量样本均值（samplemean)设是总体的一个样本，样本方差(samplevariance)2021/7/2211样本均方差或标准差

它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。几个常用的统计量设是总体的一个样本，2021/7/2212子样的K阶（原点）矩几个常用的统计量设是总体的一个样本，子样的K阶中心矩2021/7/2213它包括两个方面——数据整理计算样本特征数数据的简单处理

为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据.一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章的，需要通过整理后才能显示出它们的分布状况。数据的简单处理是以一种直观明了方式加工数据。2021/7/2214计算样本特征数：数据的简单处理数据整理：将数据分组计算各组频数作频率分布表作频率直方图（1）反映趋势的特征数样本均值中位数：数据按大小顺序排列后，位置居中的那个数或居中的两个数的平均数。众数：样本中出现最多的那个数。2021/7/2215数据的简单处理（2）反映分散程度的特征数：极差、四分位差极差——样本数据中最大值与最小值之差，四分位数——将样本数据依概率分为四等份的3个数椐，依次称为第一、第二、第三四分位数。第一四分位数Q1：第二四分位数Q2：第三四分位数Q3：2021/7/2216例1

为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位：厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随机变量X的分布状况。

87 88 111 91 73 70 92 98 105 9499 91 98 110 98 97 90 83 92 8886 94 102 99 89 104 94 94 92 9687 94 92 86 102 88 75 90 90 8084 91 82 94 99 102 91 96 94 9485 88 80 83 81 69 95 80 97 9296 109 91 80 80 94 102 80 86 9190 83 84 91 87 95 76 90 91 77103 89 88 85 95 92 104 92 95 8386 81 86 91 89 83 96 86 75 922021/7/2217第一．整理原始数据，加工为分组资料，作出频率分布表，画直方图，提取样本分布特征的信息.步骤如下：1.找出数据中最小值m=69，最大值M=111，极差为

M－m=422.数据分组，根据样本容量n的大小，决定分组数k。一般规律30≤n≤405≤k≤640≤n≤606≤k≤860≤n≤1008≤k≤10100≤n≤50010≤k≤202021/7/2218数据分组数参考表数据数40~60100150200400600800100015002000500010000分组数6~87~910~151620242730353956742021/7/2219

一般采取等距分组（也可以不等距分组），组距等于比极差除以组数略大的测量单位的整数倍。本例取k=9.本例测量单位为1厘米，组距为2021/7/22203．确定组限和组中点值。注意：组的上限与下限应比数据多一位小数。

当取a=67.5，b=112.49（a略小于m，b略大于M，且a和b都比数据多一位小数），分组如下：一般根据算式：各组中点值

组距=组的上限或下限[67.5,72.5)[72.5,77.5)[77.5,82.5)[82.5,87.5)[87.5,92.5)[92.5,97.5)[97.5,102.5)[102.5,107.5)[107.5,112.5)组中值分别为：7075808590951001051102021/7/22214．将数据分组，计算出各组频数，作频数、频率分布表组序区间范围频数fj频率Wj=fj/n累计频率Fj1[67.5,72.5)20.020.022[72.5，77.5）50.050.073[77.5，82.5）100.100.174[82.5，87.5）180.180.355[87.5，92.5）300.30.656[92.5，97.5）180.180.837[97.5，102.5）100.10.938[102.5，107.5）40.040.979[107.5，112.5）30.031.002021/7/2222作频率直方图5.作出频率直方图以样本值为横坐标，频率/组距为纵坐标；以分组区间为底，以为高2021/7/2223

从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比较少，而中间附近的数据比较多，即中间大两头小的分布趋势，——随机变量分布状况的最粗略的信息。

在频率直方图中，每个矩形面积恰好等于样本值落在该矩形对应的分组区间内的频率，即

频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的分布状况。2021/7/2224样本方差样本标准差Q1Q3极差四分位差68.69098.28885.2595424.875第二．计算样本特征数

1.反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等样本均值MEAN中位数MEDIAN众数2.反映分散程度的特征数：样本方差、样本标准差、极差、四分位差等上述差异特征统计量的值越小，表示离散程度越小.2021/7/2225MTB>setc1DATA>8788111917370929810594999198DATA>1109897839083928886941029989104DATA>94949296879492861028875909080DATA>84918294991029196949485888083DATA>8169958097929610991808094102DATA>80869190838491879576909177103DATA>8988859592104929583868186918983DATA>96867592MTB>endMTB>describec1例1DOS状态下的MINITAB操作2021/7/2226显示：

NMEANMEDIANTRMEANSTDEVC110090.30091.00090.3228.288SEMEANMINMAXQ1Q3C10.82969.000111.00085.25095.000中位数第一四分位数第三四分位数2021/7/2227MTB>CODE(67.5:72.49)70(72.5:77.49)75(77.5:82.49)80(82.5:87.49)85(87.5:92.49)90(92.5:97.49)95(97.5:102.49)100(102.5:107.49)105(107.5:112.49)110C1C2MTB>TALLYC2;SUBC>ALL.将C1数据列重新编码，并保存到C2数据列显示各列数据的频数、累计频数、频率、累计频率2021/7/2228C2COUNTSCUMCNTSPERCENTSCUMPCENTS

（频数）（累计频数）（频率）（累计频率）

120.020.02570.050.0710170.100.1718350.180.3530650.300.6518830.180.8310930.100.934970.040.9731000.031.00显示结果2021/7/2229统计量的分布2021/7/2230

统计量是样本的不含任何未知数的函数，它是一个随机变量统计量的分布称为抽样分布。

由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论正态总体下的抽样分布.

由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用.2021/7/2231正态总体样本均值的分布

设总体，是的一个样本,则样本均值服从正态分布U—分布2021/7/2232概率分布的分位数(分位点)使P{X≥x}=，定义对总体X和给定的(0<<1)，若存在x，

则称x为X分布的上侧分位数或上侧临界值.如图.xoyxP{X≥x}=若存在数1、2，使P{X≥1}=P{X≤2}则称1、2为X分布的双侧分位数或双侧临界值.oyx212021/7/2233双侧分位数或双侧临界值的特例当X的分布关于y轴对称时，则称为X分布的双侧分位数或双侧临界值.如图.若存在使yxO2021/7/2234U—分布的上侧分位数

对标准正态分布变量U～N(0,1)和给定的，上侧分位数是由：P{U≥u}=即P{U<u}=1-(u)=1-确定的点u.如图.(x)xOu例如，=0.05，而P{U≥1.645}=0.05所以，u0.05=1.645.2021/7/2235U—分布的双侧分位数的点u/2为标准正态分布的双侧分位数或双侧临界值.如图.u/2可由P{U≥u/2}=/2

对标准正态分布变量U～N(0,1)和给定的，称满足条件P{|U|≥u/2}=即(u

/2)=1-

/2反查标准正态分布表得到，P{U≥1.96}=0.05

/2例如，求u0.05/2，得u0.05/2=1.96(x)Ou/2

/2-u/2

/2x2021/7/2236标准正态分布的分位数在实际问题中，常取0.1、0.05、0.01.常用到下面几个临界值：u0.05=1.645，u0.01=2.326u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.5752021/7/2237

数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即

2分布t

分布F分布数理统计的三大分布(都是连续型).它们都与正态分布有密切的联系.！在本章中特别要求掌握对正态分布、

2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用.它们是后面各章的基础.2021/7/2238——分布

定义设总体，是的一个样本,则称统计量服从自由度为n的分布，记作自由度是指独立随机变量的个数，分布的密度函数为2021/7/223901357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10图5-4f(y)其图形随自由度的不同而有所改变.2分布表(附表3(P254)).分布密度函数的图形2021/7/2240满足

的数为

2分布的上分位数或上侧临界值，其几何意义见图5-5所示.其中f(y)是

2-分布的概率密度.f(y)xO图5-5显然，在自由度n取定以后，的值只与有关.例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，32.67即2分布的上分位数2021/7/22412分布的双侧分位数把满足的数称为

2分布的双侧分位数或双侧临界值.见图.f(x)xO图6-4显然，为

2分布的上分位数.为

2分布的上分位数.如当n=8,=0.05时，2.1817.532021/7/22422分布的数学期望与方差（补充）设

2～

2(n)，则E(

2)=n，D(

2)=2n.2分布的可加性设且相互独立，则2021/7/2243性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(

，

2)的样本，则证明由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则且各相互独立，由定义5.3得(P111第五题要用到此结论.)2021/7/2244

定理5.1设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体

X～N(

，

2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S

2相互独立；(2)(5.8)(5.8)式的自由度为什么是n-1？从表面上看，是n个正态随机变量的平方和，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：=0这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.2021/7/2245

定理5.1设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体

X～N(

，

2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S

2相互独立；(2)(5.8)与以下补充性质的结论比较：

性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(

，

2)的样本，则2021/7/2246三、t分布定义5.4

设随机变量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布或学生氏分布，记作t分布的概率密度函数为T

～t(n).其图形如图5-6所示(P106)，

其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.2021/7/2247当n较大时，t分布近似于标准正态分布.

一般说来，当n>30时，t分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近.

但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大差异.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.t

分布的数学期望与方差（补充）设T～t

(n)，则E(T)=0，D(T)=2021/7/2248定理5.2设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体

X～N(

，

2)的样本，则统计量证由于与S

2相互独立，且由定义5.4得2021/7/2249定理5.3

设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)

分别是来自正态总体N(1

，2)和N(2

，2)的样本，且它们相互独立，则统计量其中、分别为两总体的样本方差.(证略).2021/7/2250t分布的上分位数对于给定的

(0<

<1)，称满足条件的数t(n)为t分布的上分位数或上侧临界值，其几何意义见图5-7.f(t)tOt(n)图5-72021/7/2251t分布的双侧分位数由于t分布的对称性，称满足条件的数t/2(n)为t分布的双侧分位数或双侧临界值，其几何意义如图5-8所示.f(t)tOt/2(n)

/2

/2-t/2(n)图5-82021/7/2252在附表4(P256)中给出了t分布的临界值表.例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.

但当n>45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值.即t(n)≈u，n>45.

一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n>30就用标准正态分布N(0,1)来近似.2021/7/2253四、F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5

设随机变量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且与相互独立，则称随机变量记作F～F(n1，n2).概率密度函数其中其图形见图5-9.(P108)

2021/7/2254性质：若X～F(n1，n2)，则～F(n2，n1).F

分布的上分位数对于给定的

(0<

<1)，称满足条件的数F(n1，n2)为F分布的上分位数或上侧临界值，其几何意义如图5-7所示.f(y)xO图5-7F(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度.2021/7/2255F分布的上分位数F(n1,n2)的值可由F

分布表查得.

附表5、6、7(P258～P266)分

=0.1、

=0.05、

=0.01给出了F分布的上分位数.当时n1=2,n2=18时，有F0.01(2,18)=6.01

在附表5、6、7中所列的值都比较小，当

较大时，可用下面公式查表时应先找到相应的值的表.例如，≈0.1662021/7/2256F分布的双侧分位数称满足条件为F分布的双侧分位数的或双侧临界值.见图.显然，为F分布的上分位数；为F分布的上分位数；图6-4f(y)xO

/2

/22021/7/2257定理5.4

为正态总体的样本容量和样本方差；

设为正态总体的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量证明由已知条件知且相互独立，由F分布的定义有2021/7/2258小结几种常用分布的定义2021/7/2259正态总体样本均值的分布