2015年4月全国自考《线性代数(经管类)》试卷及答案 课程代码：04184

20154线性代数（经管类）试卷课程代码：04184一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）a1、设行列式D= 11 a2

b a1，D= 1b 2 a2 2

2b3a1 12

，则D2

= 【 】A.-D1

B.D11 0 x 2 0 2

C.2D1

D.3D12、若A=2 1 1，B=4 2 y，且2A=B，则 【 】 A.x=1，y=2 B.x=2，y=1C.x=1，y=1 D.x=2，y=23、已知A是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的是 【 】100100100100000B.010C.000D.010 0 0 0 0 0 4、设2阶实对称矩阵A的全部特征值味则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 【 A.0 B.1 C.2 D.33 15、矩阵

1 3有一个特征值为 【 】A.-3 B.-2 C.1 D.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6A3A=33A1

.2 17、设A=3 5，则A*= . 1 0 1 1 1 8、已知A=2 1，B=1 1 2，若矩阵X满足AX=B 9、若向量组1(1，2，1)T，2(k-1，4，2)T线性相关，则数k= .x 2x ax 01 2 310、若齐次线性方程组2x x x 0 有非零解，则数a= .3x1x2x301 2 311、设向量 (1，-2，2)T， (2，0，-1)T，则内积（,）= .1 2 1 212V={x=(x，x，0)T|x

R}的维数为 .1 2 1 213、与向量（1，0，1）T和（1，1，0）T均正交的一个单位向量为 .1 214、矩阵2 3的两个特征值之积为 . 15、若实二次型f(x1，x2，x3)=x1

ax2

a2x3

2xx1

正定，则数a的取值范围是 .三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）2 1 1 11 3 1 116、计算行列式D=1 1 4 1的值.1 1 1 51172AA(2A12

2A*

的值.0 1 0 1 118、设矩阵A=1 1 1，B=2 0 ，矩阵X满足X=AX+B，求X. 1 0 1 19、求向量组1,2,3,4的秩和一个极.xax a2x1 2

220、利用克拉默法则解线性方程组x

bx

b2x

3b2，其中a,b,c两两互不相同.1 2 3xcx c2x 21 2 31a11a1000a31B010

1 1 1

相似，求数a,b的值.22f(xx1 2

)5x1

5x2

4xx1

为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题（本题7分）23、设A，B均为n阶矩阵，且A=B+E，B2=B，证明A可逆.一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）5 16. 9 7.3 2 1 1 1 8.1 3 0 10. -2 11. 1312. 2 13.3

T或

T314. -1 15.a＞13三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）1 3 1 1 1 3 1 116.解D=2 1

10 5 1 11141023011141023011150204=2 32 01

0 744解由于AA2

AA112故(2A)12A* A12AA112123232 91232= A1A1 A1 A1 2 2解由XAXB，化为B，1 1 0 0 2 1而EA1 0 1可逆，且EA113 2 113 31 0 2

0 1 1 1 0 2 11 1 3 11 故X

13 2

2 2 0 1 15 3 1 1 1 2 1 3 1 0 11 1719.解由于,

,,

0 1 5 70 1 5 7

0 1 5 7 0 0 0 02，,是一个极大线性无关组，并且有1 2 , 3 1 2 4 1 2注：极大线性无关组不唯一。解方程组的系数行列式1 a a2D=1 b b2 b1 c c2因为a,b,c两两互不相同，所以D0，故方程有唯一解。3a2 a a2 1 2 a2又D3b21

b b20，D2

1

b2 0，3c2 c c2 1 2 c21 a D 1 b 31 c 2

3D由克拉默法则得到方程组的解D D D 3Dx 1 D

0,x2

2xD 3

3 3D D解因为矩阵AB相似，故trtrB 且 B,3101b即 0所以a=1,b=4.

5 2解二次型的矩阵A2 5 1EA37，所以A的特征值1

3,72对于特征值1

3，由方程组0A属于特征值1

3的一个单位特征向量 1

12212 对于特征值 7,由方程组0得到A属于特征值 7的一个单位特征向量2 22122 21.

21 1得正交矩阵Q

1, 2

，作正交变换xQy，2 1 1f3y27