53 收敛性与稳定性

第五章常微分方程的差分方法5.3线性多步法一、 教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的线性多步法。二、 教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。三、 教学重点难点教学重点：开型求解公式，闭型求解公式。教学难点：收敛性与稳定性。四、 教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解五、 正文线性多步法及其收敛性与稳定性、方程组与高阶方程1引言收敛性问题微分方程数值解法的基本思想是：通过某种离散化手段，将微分方程转化为差分方程（代数方程）来求解。这种转化是否合理，还要看差分问题的解七，当hT0时是否会收敛到微分方程的准确解火七），需要注意的是，如果只考虑hT0，那么节点气=%*nh对固定的n将趋向于X，这时讨论收敛性是没有意义的，因此，当hT0时，同时nF时才合理。定义：若一种数值方法对于任意固定的气=Xo+nh，当hT0（同时nF）时，有七T贝气），则称该方法是收敛的。

考察欧拉公式〉=〉+hf3，〉）（i）考察欧拉公式n+1 n nn（1）设七+1为在'n=火七）条件下按欧拉公式计算的结果，yn+1=y（Xn）+hf（Xn,y（Xn）） （2）y（Xn+i）—yn+1即为局部截断误差。T"L(Xn+1)-七+1=2y®，存在常数C使y(Xn+1)-yn+1VCh2 (3)考虑整体截断误差£小（Xn+1）-'n+J（无尸变）条件），由于"(气+1)—"(气+1)—yn+1vy(气+1)—yn+1+'n+1—七+1（4）（1）-（2）得:y—y=y(x)—y+h(f(x,y)—f(x,y(x)))n+1 n+1 nn nn nn由常微分方程李普希兹条件得：y—yV|y(x)—y|+hL|(y(x)—y)|=(1+hL)|(y(x)—y)|n+1 n+1 nn nn nn (5)由(3)，(4)，(5)式得e1<(1+hL)e+Ch2e<(1+hL)ne+史[(1+hL)—1]递推得n 0L又1+hL<ehL，设xnfo=nh<T(T为定数)，则(1+hL)n<enhL<eTLe<eTLe+C(eTL—1)h故n0L若初值准确，则h-0时enT0,欧拉公式是收敛的。进一步考察一般的单步法：所谓单步法，就是在计算’n+1时只用到它前一步的信息yn。显式单步法的共同特征是，它们都是将yn加上某种形式的增量得出> 其计算公式的形式为.>=>+h3，>，h）中3,>,h）称为增量函数n+1，其计算公式的形式为：n+1n nn，nn称为增量函数，不同的单步法，对应不同的增量函数。定理：单步法满足条件1甲（无又h）一甲（乙又h）|-七1>—y1（李普希兹条件），且设初值y0是准确的，即*=火％），则该单步法是收敛的。2稳定性问题对于一个数值方法，即使是收敛的，由于初始值一般都带有误差，同时，在计算过程中还常常产生舍入误差，这些误差又必然会传播下去，对后续的计算结果都将产生影响，数值稳定性问题是讨论这种误差的积累和传播能否得到控制的问题。 — ..二定义若用某一数值方法计算^n时，所得到的实际计算结果为^n，且由扰8=|y—ylm【、【u攵甘占y（m>n） 5 16K|8I,动nnn弓I起以后各节点'm ，的扰动为m，如果总有mn则称该方法是稳定的。一种数值方法是否稳定，不仅与该数值方法本身有关，而且还与微分方程的右端函数f（X，y），以及步长h有关，因此稳定性问题比较复杂。为了简化讨论只考虑模型方程y,=^yx<0，y（0）=y0欧拉公式稳定性：y=（1+hX）yn+1 nyn处有扰动8n，它的传播使节点七+1产生扰动8n+1，假设欧拉公式计算中不再引入新误差，则8n+广E"）8n如果原差分方程七广（1+""Rn的解不增长，即有顷〃+1囱七'，就能保证欧拉方法的稳定性。yn+1=（1+"^）yn的解不增长，h需要充分小，使11+源^1。故欧拉方法是条件稳定的。

隐式欧拉公式稳定性:1yn+1=yn+办yn+1^ +1=布<1,从而顷〃/'1、」，隐式欧拉公式是恒稳定的。3方程组与高阶方程(1)一阶方程组直接推广各种算法到方程组z)，=如[z'=g3y,z),z(%)=zo令x广xo+nh，»z表示节点七上的近似解。改进的欧拉公式为:y=y+hf(x,y,z)/n+1 n nnn预报】"=z+hg(x,y,z)校正n+1n nnnh…， 、一 、、y=y+=[f(x,y,z)+f(x,y,z)]n+1n2nnn n+1n+1n+1h「， 、/ z=z+[g(x,y,z)+g(x,y,z)]n+1n+1 n2nnn n+1nn+1四阶龙格一库塔方法为:hy1hy1=y+g[%+2K2+2K3+K4]hz=z+-[L+2L+2L+L]

n+1 n61 2 3 4K=f(x,y,z),L=g(x,y,z)1K2=fjy2K=f(x,yn+1 n2K=f(x,yn+1 nnnnnn+2L')L2h+-L)L3=g(x「y2 n+ '2n1+1K知h+22z+hK,z+hL),L=g(x,y+hK,z+hL)3n34 n+1n3n3+2Kzn+2勺h h丁、+2气,zn+22(2)化高阶方程为一阶方程组p"=f3y,y)对〔火*-咋y(*-y0，引入新变量Z=y即可化为一阶方程组：y-z,y(