行列式与矩阵

第九章行列式与矩阵本章主要内容§9.1二阶、三阶行列式§9.2三阶行列式的性质§9.3高阶行列式克莱姆(Gramer)法则§9.4矩阵的概念及其运算§9.5逆矩阵§9.6分块矩阵§9.7矩阵的初等变换学习目标1、掌握二阶、三阶行列式的计算2、理解n阶行列式的定义和性质3、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法4、掌握应用克莱姆法则的条件及结论5、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等6、了解几种特殊的矩阵及其性质7、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质8、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵9.1二阶、三阶行列式2.三阶行列式1.二阶行列式时,方程组(Ｉ)有唯一解1.二阶行列式（Ⅰ）二阶行列式:行列式的元素.主对角线次对角线线性方程(Ｉ)的解可以表示为:二阶行列式的展开式如果记:则线性方程(Ｉ)的解可以简单的表示为:行列式D是方程组(Ｉ)的系数行列式.例1

用行列式解二元一次方程组:解

(Ⅱ)

2.三阶行列式三阶行列式三阶行列式的展开式于是方程组的解可以简单表示为:例2

计算下列行列式:解三角行列式例3用行列式解三元线性方程组:解

9.2三阶行列式的性质把行列式的行和列依次互换,得到行列式D的转置行列式性质1

行列式和它的转置行列式相等,即例如性质2交换行列式的任意两行(列),行列式仅改变符号.推论

如果行列式有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零．性质3把行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数,等于以数乘以此行列式．推论1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2如果行列式某行（列）的元素全为零，则此行列式的值等于零．推论3如果行列式某两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值等于零.性质4如果行列式的某一行（列）的各元素都是二项的和，则这个行列式等于两个行列式的和.性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以常数k,加到另一行上,行列式的值不变.(性质4、推论3)例1计算行列式解(性质4的推论3)例2

计算行列式：解注意

:互换第i、j两行．:互换第i、j两列．:将行列式的第行i（i列）乘以数k．:将行列式的第j行(j列)乘以k加到第i行(i列)．余子式代数余子式性质6行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式的乘积的和.(行列式的展开性质)例3

用行列式的展开性质计算行列式解

性质7行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.例如9.3高阶行列式克莱姆法则1.高阶行列式2.克莱姆(Gramer)法则划去元素所在的第i行第j列上所有的元素后形成的n-1阶行列式9.3高阶行列式克莱姆法则1.高阶行列式n阶行列式代数余子式主对角线上元素次对角线上元素阶数n大于3的行列式称为高阶行列式.三阶行列式的所有性质对于高阶行列式都成立.例1

计算解

将行列式按第1行展开,得例2

计算下列三角行列式(即主对角线上方的所有元素都为零的行列式):解

按第一行展开,得对上式中的右边的n-1阶行列式再按第一行展开,得如此下去做n次,得2.克莱姆(Gramer)法则n元线性方程组(Ⅲ)系数行列式为定理(克莱姆法则)如果线性方程组（Ⅲ）的系数行列式则该方程组有且只有惟一解证行列式的展开性质例3用克莱姆法则解方程组解且注意克莱姆法则有两个条件：一是方程组的未知数的个数等于方程的个数，二是系数行列式不等于零．当方程组(Ⅲ)的常数项不全为零时,称为非齐次线性方程组.(Ⅳ)齐次线性方程组零解推论2

如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式D必为零.推论1

如果齐次线性方程组的系数行列式,则它只有零解.例4

k取何值时,齐次线性方程组有非零解?解

9.4矩阵的概念及其运算1.矩阵的概念定义1mn矩阵:矩阵的第i行j列的元素.如果矩阵A的元素全为实数,则称A为实矩阵.如果全为复数,则称为复矩阵.如果全为零,则称为零矩阵,记作0.行矩阵列矩阵当m=n

时,即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵.对角矩阵

数量矩阵n阶单位矩阵上三角矩阵下三角矩阵

如果都是mn矩阵,并且它们的对应元素都相等,则称矩阵A和矩阵B相等,记作A=B.例1

已知

且A=B,求a,b,c,d.解定义2两个mn矩阵对应的元素相加得到mn矩阵,称为矩阵A与矩阵B的和,记作A+B.2.矩阵的运算(1)矩阵的加法与减法定义3例如求两个矩阵和的运算叫作矩阵的加法.把mn矩阵中各元素变号得到的矩阵,称为矩阵B的和负矩阵,记作－B.矩阵的减法例如注意只有当两个矩阵的行数和列数都分别相同时,才能进行加减运算．矩阵运算满足以下运算规律：（1）交换律A+B=B+A.（2）结合律(A+B)+C=A+(B+C).（3）A+0=A.（4）A+(－A)=0．规定:kA=Ak.

以数k乘以矩阵的每一个元素所得的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，记作kA.．（2）数与矩阵相乘定义4矩阵运算满足以下运算规律：

例2已知解．（3）矩阵的乘法定义5例3已知求AB与BA．解矩阵的乘积不满足交换律.矩阵的乘法满足以下规律（假设运算是可行的）：（其中k为常数）．注意两矩阵的乘法与两数的乘法有很大的差别.（1）结合律（2）分配律在矩阵运算中，如果且也不能推出成立.解

.例4设一般地有

定义6设A是n阶方阵，k为正整数，则我们称为方阵A的k次方幂，简称为A的k次幂．矩阵A的方幂满足以下运算法则：(k,l为正整数)一般来说.

例5

计算

解所以，由二项式定理，得把矩阵A所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为A的转置矩阵.（4）矩阵的转置定义7矩阵的转置满足下列运算法则：例6设

解法一

解法二由n阶方阵A的元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式.（5）矩阵的行列式定义8矩阵A的行列式满足下法则:解注意

一般来说

例7设9.5逆矩阵设A是一个n阶方阵,E是一个n阶单位矩阵.如果存在一个n阶方阵B,使AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵,简称为A的逆阵,或A的逆．这时称A为可逆矩阵,简称可逆阵.1.逆矩阵的概念定义1例如

并非任意一个非零方阵都有逆矩阵.例如因此，矩阵A不可逆.性质1如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是惟一的．设B，C都是A的逆矩阵，所以A的逆矩阵是惟一的．B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C．性质2可逆矩阵A的逆矩阵证证性质3

可逆矩阵A的转置矩阵证性质4两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵，且证注意

一般来说，若n阶矩阵A的行列式则称A为非奇异矩阵.反之,若则称A是奇异矩阵.

2.逆矩阵的求法定义2定理1

若方阵A可逆，则A为非奇异矩阵.证的行列式中元素的代数余子式所构成的方阵A的伴随矩阵

定义3例1求下列三阶矩阵A的伴随矩阵

解定理2

推论设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使AB=E(或BA=E),则证例2

求例1中矩阵A的逆矩阵.

解例3求下列矩阵的逆矩阵：解例4求的逆矩阵，其中

解例5若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C.证因为A为非奇异矩阵，所以A可逆.系数矩阵解

例6解线性方程组1．分块矩阵的概念以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.例如﹡9.6分块矩阵2．分块矩阵的运算(1)分块矩阵的加法和减法.两个分块矩阵的加法和减法可分别定义为例1求下列分块矩阵的和：解

（2）分块矩阵的数乘.例如（3）分块矩阵的乘法.例2求例1中两矩阵的乘积矩阵AB.解作分块矩阵的乘法时,在划分块时,必须满足下面的要求：（1）左矩阵分块后的列组数等于右矩阵分块后的行组数.（2）左矩阵每个列组所含列数与右矩阵相应行组所含行数相等.

例3设A、B为二个分块对角矩阵，即例4设A为一个分块对角矩阵证例5求矩阵的逆矩阵.解例6求分块矩阵的逆矩阵，其中A、B分别为r阶与k阶可逆方阵，C是r×k阶矩阵，0是k×r

阶矩阵.解例7设矩阵解9.7矩阵的初等变换

1.矩阵的初等变换定义1下面的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：(1)交换矩阵的两行（列）；(2)用非零数k乘以矩阵的某行（列）；(3)把矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）．矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换．例如如果矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价.任意一个矩阵经过若干次初等变换，均可化为下面的标准形式：定义2D矩阵例1将下列矩阵A化为D矩阵的形式：解

对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵．2．初等矩阵定义3（1）交换E的第行（列）与第行（列）得到的初等矩阵.第2、3行交换，得到的初等矩阵是例如第3行乘以k，得到的初等矩阵是(3)用数k乘E的第j行(i列)加到第i行(j列)上得到的初等矩阵.第3行乘以数k加到第2行，得到的初等矩阵是例如例2设解行初等变换:左乘列初等变换:右乘化为D矩阵的形式.3.用矩阵的初等变换求逆矩阵解例3用初等变换，将矩阵用初等行变换求逆阵的方法：作一个n×2n阶矩阵(A︱B)，然后对此矩阵施以行的初等变换，使A化为E，则同时E就化为.例4

用初等行变换求方阵