2022-2023学年浙大附中玉泉、丁兰高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年浙大附中玉泉、丁兰高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合,，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式化简，再根据交集的概念可求出结果.【详解】由，得，所以，因为，所以.故选：C2．设命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，命题“，”的否定“，”.故选：A.3．下列各组函数是同一函数的是（

）①与；②与③与；④与A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】B【分析】解：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，来判断它们是同一函数即可.【详解】解：对于①函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；对于②函数的定义域为，函数定义域为，且两函数的对应关系也相同，故为同一函数；对于③函数的定义域满足，则定义域为，函数定义域为满足或，则定义域为，定义域不同，故不是同一函数；对于④函数的定义域为，函数定义域为，且两函数的对应关系也相同，故为同一函数.故选：B.4．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据偶函数的定义及函数在上单调递减，逐一判断即可．【详解】对于A，，，，所以为偶函数；当时，，在上单调递增，不符题意；对于B，，定义域为，，为奇函数，不符题意；对于C，，，，所以为偶函数；当时，，在上单调递增，不符题意；对于D，，定义域为，，所以为偶函数，当时，，在上单调递减，符合题意．故选：D．5．命题“，”是命题“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断.【详解】若，，则，，∴.若，则，，或，.当，时，，.所以命题“，”是命题“”的充分不必要条件.故选：A.6．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由抛物线开口向下，可得，可排除A，C，根据抛物线过点得，可知过原点可排除B，进而可得正确选项.【详解】因为二次函数开口向下，所以，所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C因为过点，所以，所以，所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；故选：D.7．若不等式对一切都成立，则a的最大值为（

）A．0 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】由不等式分离参数，然后结合函数的单调性求得的最大值.【详解】依题意，不等式对一切都成立，即对一切都成立，令，任取，，由于，所以，所以在区间上递减，，所以，所以的最大值为.故选：D8．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】D【解析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数，如图所示当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解因此其整数解为3，又∴，，则当时，，则不满足题意；当时，当时，，没有整数解当时，，至少有两个整数解综上，实数的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.二、多选题9．设，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】A选项，由不等式的基本性质求解；BD选项，可举出反例；C选项，作差法比较大小.【详解】因为，为分母，所以，由不等式的基本性质可知：，A正确；不妨设，满足，但，B错误；，因为，所以，且恒成立，所以，故，C正确；当时，，D错误.故选：AC10．已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.下列说法正确的是（

）A．是函数的一个“和谐区间”B．是函数的一个“和谐区间”C．是函数的一个“和谐区间”D．是函数的一个“和谐区间”【答案】BC【分析】利用“和谐区间”的定义，逐一判断即可.【详解】对于A选项：，当时，，不满足题意，错误；对于B选项：，当时，，满足题意，正确；对于C选项：，当时，，满足题意，正确；对于D选项：，当时，，不满足题意，错误.故选：BC.11．已知不等式的解集为，则（

）A． B．C．的解集为 D．【答案】ACD【分析】利用二次不等式的解集与方程之间的关系可判断ABC选项；利用二次不等式的解法可判断C选项.【详解】因为不等式的解集为，则，A对；且、是关于的二次方程的两根，则，所以，，，则，B错；不等式即为，即，解得，C对；对于D选项，，D对.故选：ACD.12．若实数，，满足，以下选项中正确的有（

）A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】BCD【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.【详解】实数，，，整理得，当且仅当即时取等号，故选项A错误；，当且仅当即时取等号，故选项B正确；，，，当且仅当时取等号，故选项C正确；，，，当且仅当时取等号，故选项D正确，故选：BCD三、填空题13．______．【答案】8【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂求解作答.【详解】.故答案为：814．幂函数在上是减函数，则实数的值为______.【答案】-1【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.【详解】由幂函数知，得或.当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，∴.故答案为【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.15．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．【答案】【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.【详解】由题意得,即，解得：．所以的取值范围为.故答案为：.16．已知函数，有下列结论：①，等式恒成立；②，方程有两个不等实根；③、，若，则一定有；④存在无数多个实数，使得函数在上有三个零点.则其中正确结论序号为______.【答案】①③④【分析】判断函数的奇偶性，可判断①的正误；取可判断②的正误；判断函数的单调性，可判断③的正误；数形结合可判断④的正误.【详解】对于①，函数的定义域为，，所以，，①正确；对于②，当时，，当时，则有，可得，故②错误；对于③，当时，，则函数为增函数，又因为函数为奇函数，故函数在上单调递增，从而可知函数在上单调递增，所以，、，若，则一定有，③对；对于④，令，即，则为函数在上的一个零点，当时，则有，令，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故存在无数多个实数，使得函数在上有三个零点，④对.故答案为：①③④.四、解答题17．若集合，集合(1)若，求．(2)当时，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的性质进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，因此；（2）因为，所以，因此有，所以实数m的取值范围为.18．已知关于x不等式的解集为M．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若M不为空集，求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意列不等式求解，（2）由题意得的取值范围，再分离常数后求解值域，【详解】（1）若，则，即，解得，故m的取值范围是，（2）若M不为空集，则，解得或，而，而，，故即的值域为19．已知函数的定义域为．(1)判断并证明函数的奇偶性和单调性；(2)解不等式．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用函数奇偶性、单调性的定义判断、证明即可得出结论；（2）由函数的单调性与奇偶性、定义域可的关于的不等式组，即可解得的取值范围.【详解】（1）解：函数为奇函数，且在上为增函数，理由如下：奇偶性：函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；单调性：任取、且，则，则，即，所以，函数在上为增函数.（2）解：由可得，所以，，解得，所以，不等式的解集为.20．已知函数．(1)若函数的解集为，其中，求实数a，b的值；(2)当时，求关于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为．【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，结合韦达定理列方程求解实数a，b的值即可；（2）化简不等式，由再分类讨论求不等式的解集即可．【详解】（1）解：根据题意，的解集为，则1，是方程的解，且，则有，解得：，；（2）解：不等式，即，则有，其中，①当时，不等式为，则不等式的解集为；②当时，不等式为，则不等式的解集为，③当时，则，不等式的解集为或，④当时，则，不等式的解集为．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为．21．某店国庆期间对某新上市商品开展促销活动，已知a（万件）该商品的进价成本总共为（万元），每件商品的售价定为元．开展该促销活动需要一笔促销费用，该商品的销售量由促销费用决定，经测算该商品的销售量a（万件）与促销费用x（万元）满足以下关系：．(1)将该商品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；(2)促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)(2)促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【详解】（1）解：由于，则则该商品的利润（2）解：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为960（万元），促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元．22．已知，函数．(1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可直接写出函数的单调递增区间；（2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式；（3）令，分、两种情况讨论，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，所以，函数的单调递增区间为.（2）解：由题意可知，①当时，函数在上单调递减，在上单调