人教A版必修二第4章4.24.2.1直线与圆的位置关系

4．2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系1D2．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于()AA．1或－19C．－1或－19B．10或－10D．－1或19

3．直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是_____． 4．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是_____________.相交3x－2y－3＝02重点直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种： (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ＜0，则相离； (2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，若d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若d＞r，直线与圆相离．3难点圆的切线方程

求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，过圆内一点，没有切线． 在求过圆外一点的切线时常用以下方法： (1)设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率； (2)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率； (3)设切点坐标，用切线公式法求解． 其中，(1)(2)两种方法应注意切线斜率不存在的情形，若求出只有一个斜率，应找回另一条．4

直线与圆位置关系的判断 例1：当k为何值时，直线

l：y＝kx＋5与圆C：(x－1)2＋y2＝1：(1)相交？(2)相切？(3)相离？

思维突破：判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法，使用时以几何法为主．5(1)当Δ>0，即k<－(3)当Δ<0，即k>－故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k.12 5时，直线与圆相交．(2)当Δ＝0，即k＝－12 5时，直线与圆相切．12 5时，直线与圆相离．(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0.6解法二(几何法)：圆心C的坐标为C(1,0)，半径r＝1，圆心71－1.求实数b的范围，使直线y＝x＋b和圆x2＋y2＝2：(1)相交；(2)相切；(3)相离．8得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝－4(b2－4)．(1)当Δ>0，即－2<b<2时，直线与圆相交．(2)当Δ＝0，即b＝－2或b＝2时，直线与圆相切．(3)当Δ<0，即b<－2或b>2时，直线与圆相离．9求圆的切线方程

例2：求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程．解法一：设切线的斜率为k，由点斜式有y＋7＝k(x－1)，即y＝k(x－1)－7，将方程代入圆方程得x2＋[k(x－1)－7]2＝25，整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0.故Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0，

思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)设切线斜率，用判别式法．(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径法．(3)设切点坐标，用切线公式法．10

故切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.

解法二：设所求切线斜率为k，则所求直线方程为y＋7＝k(x－1)，整理成一般式为kx－y－k－7＝0，所以切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.11

解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为x0x＋y0y＝25，将坐标(1，－7)代入后得x0－7y0＝25，故所求切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.122－1.求由下列条件所决定的圆x2＋y2＝4的切线方程：1314

弦长问题 例3：直线l：x＋y＋1＝0被圆(x－3)2＋y2＝9截得的弦长为________．(方法二)：直线l：y＝－x－1，斜率k＝－1，图1思维突破(方法一)：圆心C(3,0)，r＝3，如图1，圆心C(3,0)15答案：2求直线与圆相交时的弦长常用两种方法：(1)几何法：设直线l与圆相交于A、B两点，弦心距为d，圆的半16

3－1.(2010年四川)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝_____.17错因剖析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解．正解：当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y＋3＝k(x－3)⇒kx－y－3(k＋1)＝0，当直线l的斜率不存在时，也满足题意，故直线l的方程为5x