2022-2023学年安徽省蚌埠市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年安徽省蚌埠市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面

2.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

3.A.1/2f(2x)+CB.f(2x)+CC.2f(2x)+CD.1/2f(x)+C

4.

A.

B.

C.

D.

5.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在

6.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是()．A.A.球面B.柱面C.旋转抛物面D.圆锥面

7.级数()。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

8.

9.

A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与α有关D.上述三个结论都不正确

10.

11.

12.微分方程y''-2y=ex的特解形式应设为（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

13.

14.

15.

16.设f(x)为连续函数，则()'等于()．A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)17.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

18.

19.设y=cos4x，则dy=（）。A.

B.

C.

D.

20.下列命题正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.幂级数的收敛半径为________。

22.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f(0)=__________

23.二阶常系数齐次线性方程y"=0的通解为__________。

24.

25.

26.∫e-3xdx=__________。

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.设f(x＋1)=3x2＋2x＋1，则f(x)=_________．

35.

36.

37.

38.

39.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

40.

三、计算题(20题)41.

42.

43.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则44.

45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

47.

48.

49.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．50.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．51.求微分方程的通解．52.

53.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

54.55.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．58.证明：59.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．60.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.(本题满分8分)

66.将f(x)=ln(1+x2)展开为x的幂级数．67.设y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求y'．

68.

69.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

70.

五、高等数学(0题)71.某工厂每月生产某种商品的个数x与需要的总费用函数关系为10+2x+

(单位：万元)。若将这些商品以每个9万元售出，问每月生产多少个产品时利润最大?最大利润是多少?

六、解答题(0题)72.设

参考答案

1.A

2.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

3.A本题考查了导数的原函数的知识点。

4.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

5.C被积函数sin5x为奇函数，积分区间[-1，1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。

6.B本题考查的知识点为识别二次曲面方程．

由于二次曲面的方程中缺少一个变量，因此它为柱面方程，应选B．

7.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛。

由于的p级数，可知为收敛级数。

可知收敛，所给级数绝对收敛，故应选A。

8.B解析：

9.D本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．

10.A

11.C

12.A由方程知，其特征方程为，r2-2=0，有两个特征根r=±.又自由项f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可设为Aex.

13.A解析：

14.D

15.C

16.C本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质．

这是一个基本性质：若f(x)为连续函数，则必定可导，且

本题常见的错误是选D，这是由于考生将积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式混在了一起而引起的错误．

17.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

18.B解析：

19.B

20.D本题考查的知识点为收敛级数的性质和绝对收敛的概念．

由绝对收敛级数的性质“绝对收敛的级数必定收敛”可知应选D．

21.因为级数为，所以用比值判别法有当＜1时收敛，即x2＜2。收敛区间为，故收敛半径R=。

22.

23.y=C1+C2x。

24.

25.

26.-(1/3)e-3x+C

27.2

28.2xy(x+y)+3

29.(-33)(-3,3)解析：

30.231.1．

本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．

由于f(1)=2，可知

32.22解析：

33.

34.

35.

解析：

36.本题考查了交换积分次序的知识点。

37.(1/3)ln3x+C

38.

39.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

40.00解析：

41.

42.43.由等价无穷小量的定义可知

44.

则

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.52.由一阶线性微分方程通解公式有

53.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

54.

55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

56.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

57.由二重积分物理意义知

58.

59.

列表：

说明

60.函数的定义域为

注意

61.

62.

63.

64.

65.本题考查的知识点为不定积分运算．

只需将被积函数进行恒等变形，使之成为标准积分公式形式的函数或利用变量替换求积分的函数．66.由于

因此

本题考查的知识点为将函数展开为幂级数．

纲中指出“会运用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x或(x-x0)的幂级数．”这表明本题应该将ln(1+x2)变形认作ln(1+x)的形式，利用间接法展开为x的幂级数．

本题中考生出现的常见错误是对ln(1+x2)关于x的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的．67.解法1将所给方程两端关于x求导，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，则本题考查的知识点为隐函数求导法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0确定，求y'通常有两种方法：

一是将F(x，y)=0两端关于x求导，认定y为中间变量，得到含有y'的方程，从中解出y'．

二是利用隐函数求导公式其中F'x，F'y分别为F(x，y)=0中F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数．

对于一些特殊情形，可以从F(x，y)=0中较易地解出y=y