静电场基本方程

第一章静电场实验基础与理论基础静电场的基本方程基本方程的解应用§1.1电场强度，电位§1.2高斯定律§1.3静电场的基本方程，分界面上的衔接条件§1.4静电场边值问题，唯一性定理§1.5分离变量法§1.6有限差分法§1.7镜像法和电轴法§1.8电容和部分电容

§1.9静电能量与力1整理课件§1.3静电场的基本方程，分界面衔接条件§1.3.2分界面上的衔接条件§1.3.1静电场的基本方程2整理课件一、基本方程：二、静电场的性质：旋度：静电场为无旋场；积分形式微分形式环路特性：场强的环路线积分为0(保守场)高斯定理：电位移的闭合面积分为面内包含的总自由电荷；散度：静电场为有源场，电位移的源为自由电荷；§1.3.1静电场的基本方程3整理课件解：例1：已知，问：是否可能为静电场？=0可能为静电场。4整理课件半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为求电荷密度(r)。（书P20例1－9）解：例25整理课件1、电位移D的边界条件：12P△l12D2n–

D1n=

证明：作一圆柱体，设高△l0，底面△S上D均匀△S0右=q=

△S+(1+2)(△l△S)

/20D2

cos2

–

D1cos1

=

D1D2为分界面上分布的自由电荷的面密度结论：n为介质1的外法线方向§1.3.2分界面上的衔接条件6整理课件2、电场强度E的边界条件：E1t=E2t证明：作一矩形为闭合回路，设边△l20，边△l1上E均匀0右=0△l112P△l2E1E2E2nE1nE2tE1t结论：场强的切向分量连续，与面电荷无关7整理课件3、折射定理：E1t=E2t设两种电介质1、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷结论：D2n–

D1n==01

E1cos

1=2

E2cos

2D1=1

E1D2=2

E2E1sin

1=E2sin

2tg

1/tg

2=1

/

212PE1E2E2nE1nE2tE1t128整理课件4、电位的边界条件：E1t=E2t设在分界面两侧各取两点A、B，间距为d0

结论：12D2n–

D1n=AB

1

2d02=19整理课件5、导体(1)与电介质(2)的分界面：E1t=E2t结论：导体电介质E1=0E2D2n–

D1n=E1=0D1=0D1=0D2n=E2t=0D22=12=1=

c（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷面密度σ。10整理课件例1、两平行板电容器，两区域的场强E、电位移D是否相等？分别求其中的电场强度。（书P22例1-11）图a图b12+q0-q0S1S2U00d1d212解a：E1

E2D1=D211整理课件解b：(1)E1=E2D1

D2图b12E1E2D1D2+q-qS1S212整理课件1、长直同轴圆柱电容器，内外导体单位长度带电荷量分别为+τ与+τ内外导体之间充满两种电介质，内层为ε1外层为ε2,分界面是以ρ为半径的柱面，如图所示。则两种介质分界面上的电场强度E和电通密度（电位移）D的关系为：A.B.C.答：（）13整理课件2、板间介质为空气，板间距离为d的平行板

电容器，两板分别与恒定电压源的两极相

连，设此时电容器极板间电场强度为E0，现将该电容器的一半空间填以εr＝2的电介质，且保持介质分界面与极板平面平行，忽略端部的边缘效应，此时电容器极板间的电场强度为：空

气

中

的

电

场

强

度

为E0，介质中的电场强度为E0/2B.空

气

中

的

电

场

强

度

为4E0/3，介质中的电场强度为2E0/3C.空

气

中

的

电

场

强

度

为

5E0/3，

介质中的电场强度为E0/3，答：（B）14整理课件3、两个板间距相同的平行板电容器，如图所示。内部充满两种介质，介电常数如图中所标，若介质的击穿场强都一样时，且两个电容上的U0都以同一比例逐渐增大，则首先被击穿的介质是

A.介质ⅣB.介质ⅠC.介质Ⅱ答：（C）15整理课件解a：例2、如图，两区域的场强E、电位移D是否相等？若改变一个区域的r，场强、两极板间的电压会改变吗？(1)E1=E2D1

D212E1E2D1D2+q-q(2)若2增大，场强减小，电压减小。12+q-q解b：图a图b(1)E1=E2D1

D2(2)若2增大，场强减小，电压减小。16整理课件例3：两种介质分界面是平面，已知ε1=4ε0，ε2=2ε0，且分界面一侧的电场E1=100V/m,其方向与分界面的法线成45o角，求分界面另一侧电场E2的值。（书P241-3-3）12PE1E2E2nE1nE2tE1t12解:17整理课件已证明：在两种不同电介质的分界面上，即：E1n≠E2n，（1）能求出E2n－E1n的值吗？（2）并由此说明在两种介质的分界面上，电场强度产生突变的原因。（P66思考题1－23）结论：在两种介质的分界面上，电场强度产生突变的原因是在分界面上存在自由电荷面密度和束缚电荷面密度18整理课件§1.4静电场边值问题唯一性定理19整理课件1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：若=00（均匀电介质）E=-泊松方程拉普拉斯方程▽2=-/

▽2=0▽2:拉普拉斯算子。在直角坐标系下：§1.4.1泊松方程和拉普拉斯方程20整理课件举例说明边界条件和分界面上的衔接条件在静电场分析计算中的应用。(书P66思考题1-25）U00d1d212要确定泊松方程或拉普拉斯方程通解的待定系数，必须利用场域的边界条件和分界面上的衔接条件。21整理课件1、一般的微分方程的定解问题：微分方程（泊松、拉普拉斯方程）初始条件边界条件×（静电场不考虑）§1.4.2静电场边值问题2、静电场边值问题的类型：22整理课件电荷分布在有限区域，则无限远处电位有限边值问题已知场域边界上各点电位的法向导数已知场域边界上各点电位值|S

=f1(s)微分方程边界条件一、二类边界条件的线性组合，即场域边界条件自然边界条件分界面衔接条件第二类边界条件第一类边界条件第三类边界条件如：已知导体表面电荷密度如：已知导体电位如：已知一些带电体电位和另外一些带电体的电荷面密度23整理课件根据场域边界面上给定的边界条件的方式不同，把边值问题分为：|S

=f1(s)第一类边值问题：已知边界面S上各点电位。2.第二类边值问题：已知边界面S上各点电位法向导数值。3.第三类边值问题混合边值问题)已知边界面S上各点电位和电位法向导数值的线性组合值。4.自然边界条件：电荷分布在有限区域，则无限远处电位有限。如：已知导体表面电荷密度如：已知导体电位如：已知一些带电体电位和另外一些带电体的电荷面密度24整理课件边值问题研究方法解析法数值法实测法模拟法定性定量计算法实验法作图法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法25整理课件一、唯一性定理内容：在静电场中，凡满足①电位微分方程、②给定的边界条件（包括不同介质的分界面衔接条件及其场域的边界条件）的解φ是给定场的唯一解。方程一定二、唯一性定理证明：略三、唯一性定理意义：殊途同归§1.4.3唯一性定理边界一定解唯一静电场不同介质的分界面衔接条件场域的边界条件26整理课件（1）采用任何一种方法求解静电场问题，只要解满足唯一性定理的条件，这个解就是我们要求的静电场的解。如镜像法和电轴法就是以唯一性定理为依据的。（2）检验解的正确性。唯一性定理在静电场的分析计算中起什么作用？试举例说明。(书P66思考题1-27)27整理课件解：将其视为无限大平板的情况，则仅为x的函数。例1、平板空气电容器中分布有体密度为的电荷，尺寸如图，两板间电压为U0，求电场分布。（书P26例1-13）|(x=0)

=0U00xyd|(x=d)

=U0解微分方程，得通解：=-x2/20+Bx+C由二边界条件，得：C=0U0=-d2/20+Bd+CC=0B=U0/d+d/(20)=-x2/20+[U0/d+d/(20)]xE=-▽=(-d/dx)ex=[x/0-(U0/d+d/20)]ex28整理课件解：由于场分布的对称性，取整个场域的1/4计算。例2：长直同轴电缆尺寸如图。写出静电场边值问题。(书P26例1-12)U0a0xyb|(x=b,0<y<b)

=|(y=b,0<x<b)=U0

Ex

=0Ey

=029整理课件写出图示矩形导电片的边值问题，并求出电位分布。两侧边为电流线。30整理课件解：由对称性，仅为r的函数。用圆柱坐标系求解。例3、长直同轴电缆尺寸如图，电压为U0，求场分布、电荷分布。=0▽2微分方程边界条件|(r=R1)

=0|(r=R2)

=U0解微分方程，得通解：(r)=Alnr+B由二边界条件，得：AlnR1+B=0AlnR1+B=