2021-2022学年湖北省黄冈市蕲春县第三初级中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年湖北省黄冈市蕲春县第三初级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入的值为 A．2

B．

C．－2或－3

D．2或－3参考答案：D2.已知函数,则关于的方程有个不同实数解的充要条件是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B3.种已知，则等于（

）A．2

B．0

C．

D．参考答案：D4.以下四个命题中其中真命题个数是①为了了解800名学生的成绩,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔为40;②线性回归直线恒过样本点的中心;③随机变量服从正态分布,若在(－∞,1)内取值的概率为0.1,则在(2,3)内的概率为0.4;④若事件M和N满足关系,则事件M和N互斥.A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D5.已知，则a9等于（）A．﹣10 B．10 C．﹣20 D．20参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【分析】（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x）10，即可得出．【解答】解：（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x）10，可得a9=﹣2=﹣20．故选：C．6.某研究机构在对线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y12356由表中数据求的y关于x的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（6，2），（8，3），共2个，求出概率即可．【解答】解：∵=8，=3.4，故3.4=0.65×8+，解得：a=﹣1.8，则=0.65x﹣1.8，故5个点中落在回归直线下方的有（6，2），（8，3），共2个，故所求概率是p=，故选：A．7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为A．

B． C．

D．参考答案：D略8.数列的前n项和为,则数列的前50项的和为 A．49 B．50 C．99 D．100参考答案：A略9.过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点．若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过两点（为坐标原点），则双曲线的方程为中学联盟8 (A)

(B) (C)

(D)参考答案：A10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是______寸．

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）A

1

B2

C3

D4参考答案：C

如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．

∵积水深9寸，所以水面半径为(14+6)=10寸

则盆中水的体积为π×9(62+102+6×10)=588π（立方寸）．

∴则平地降雨量等于=3（寸）．

∴答案为C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量满足，，则向量与夹角为

.参考答案：

12.函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点，是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．其中真命题的序号为

（将所有真命题的序号都填上）参考答案：②③13.函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：（1）f（x）在[a，b]内是单调函数；（2）f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“美丽区间”．下列函数中存在“美丽区间”的是

（只需填符合题意的函数序号）．①f（x）=x2（x≥0）；

②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=；

④f（x）=．参考答案：①③④【考点】函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据函数中存在“美丽区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或，对四个函数分别研究，从而确定存在“美丽区间”的函数．【解答】解：①．若f（x）=x2（x≥0），若存在“美丽区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，∴，∴f（x）=x2（x≥0）存在“美丽区间”[0，2]，∴①正确．②，若f（x）=ex（x∈R），若存在“美丽区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，即a，b是方程ex=2x的两个不等的实根，构建函数g（x）=ex﹣2x，∴g′（x）=ex﹣2，∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）=2﹣ln2＞0，∴g（x）＞0，∴ex﹣2x=0无解，故函数不存在“美丽区间”，∴②不正确；③，∵f（x）=，在（0，+∞）上是减函数，若存在“美丽区间”[a，b]，则，得，∴满足ab=的区间[a，b]都是“美丽区间”，故③正确；④．若函数f（x）=（x≥0），f′（x）==，若存在“美丽区间”[a，b]?[0，1]，则由，得，∴a=0，b=1，∴存在“美丽区间”[0，1]，∴④正确．故答案是①③④．【点评】本题主要考查了与函数的性质有关的新定义问题，涉及知识点较多，综合性强，难度较大．14.如果复数的实部与虚部互为相反数,则=

.参考答案：1

略15.在平面边形ABCD中，，则AD的最小值为_____.参考答案：分析：作出图形，以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解．详解：设，在中，由正弦定理，得，即，即，由余弦定理，得；在中，由余弦定理，得，，其中，则，即的最小值为．点睛：（1）解决本题的关键是合理选择为自变量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理进行求解；（2）利用三角恒等变换和三角函数的性质求最值时，往往用到如下辅助角公式：，其中．16.5人随机站成一排，甲乙两人不相邻的概率是．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式．

专题：概率与统计．分析：首先考虑5人随机站成一排，再用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法，由古典概型的概率计算公式即可得到答案．解答：解：5人随机站成一排的排法有A55=120种，而求甲、乙两人不相邻的排法，可分两个步骤完成，第一步骤先把除甲乙外的其他三人排好，有A33种排法，第二步将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中，有A42种，则甲、乙两不相邻的排法有A33A42=72种，故5人随机站成一排，甲乙两人不相邻的概率是=．故答案为：．点评：此题主要考查排列组合及简单的计数问题以及古典概型的概率计算公式，题中应用到插空法，这种思想在求不相邻的问题中应用较广，需要同学们多加注意．17.(几何证明选做题)如图，⊙O的直径=6cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连结，若，则= .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛.下图1和图2分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按，分组，得到的频率分布直方图.(Ⅰ)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(Ⅱ)完成下面列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计七年级

八年级

合计

附：.0.100.050.0102.7063.8416.635临界值表：

参考答案：解：(Ⅰ)七年级学生竞赛平均成绩(45×30+55×40+65×20+75×10)÷100=56(分)，八年级学生竞赛平均成绩﹙45×15+55×35+65×35+75×15﹚÷100=60(分).……………6分(Ⅱ)

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计七年级7030100八年级5050100合计12080200…………8分∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”.略19.如图，几何体中，四边形为菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，为的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：解：（I）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以因为、都垂直于面,，又面∥面,所以四边形为平行四边形,则……………2分因为、、都垂直于面,则…4分所以所以为等腰直角三角形

………………5分（II）取的中点，因为分别为的中点，所以∥以分别为轴建立坐标系，则所以

………………7分设面的法向量为，则，即且令，则

………………9分设面的法向量为，则即且令，则

……………………11分则,则二面角的余弦值为

…12分

略20.（本小题满分12分）已知是椭圆左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围.参考答案：(1)；(2)试题分析：（1）根据，的内切圆面积的最大值为，求得，再根据的周长为定值，以及离心率，求得a，b的值，问题得以解决．（2）分两类讨论，斜率不存在，斜率存在，当斜率存在时根据弦长公式得到，再利用换元法，求得取值范围.（2）①当直线与中有一条直线垂直于轴时，.②当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，由，消去可得，，，代入弦长公式得：，同理由，消去可得，代入弦长公式得：，所以令，则，所以,由①②可知，的取值范围是.考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．21.(本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ)若，求数列的通项公式；(Ⅱ)记,，且成等比数列,证明:().参考答案：(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴或即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴

∴

…………7分

∵成等比数列，∴∴…………8分

∴

∴

∵

∴

∴…10分

∴

∴左边=

右边=

∴左边=右边∴()成立.……………12分22.在等比数列中，，．设，为数列的前项和．(1)求和；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实