第2章正投影法课件

第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知识§2-2点的投影§2-3直线的投影§2-4平面的投影§2-5直线与平面及两平面的相对位置§2-6换面法第二章正投影法基本原理§2-1投影的形成及常用的投影方法投影三个要素:

投射线空间物体投影面中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差投影特性投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变平行投影法斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面投射线互相平行正（直角）投影法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图平行投影的基本性质类似性积聚性真实性从属性平行性定比性第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知识§2-2点的投影§2-3直线的投影§2-4平面的投影§2-5直线与平面及两平面的相对位置§2-6换面法Pb●●AP采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1●B2●B3●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影a●§2-2点的投影解决办法？HWV二、点的三面投影投影面◆正立投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧立投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直WHVoX空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●ZYWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动投影面展开aaZaayayaXYYO●●az●x●●●●XYZOVHWAaaa点的投影规律:①aa⊥OX轴③aax=aaz=y=A到V面的距离

aax=aay=z=A到H面的距离

aay=aaz=x=A到W面的距离xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

②aa⊥OZ轴●●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用圆规直接量取aaz=aaxa●特殊位置点的投影特性B(b)b’b”C(c’)c投影面上点的投影特性aA(a’)a”aoHYxWZYcc’c”b’bb”a’aa”A在V面上B在H面上C在X轴上

点在投影面上,其一个投影与空间点重合,另两个投影落在投影轴上；点在投影轴上,点的两个投影与空间点重合，另一个投影落在坐标原点。三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的左右、前后、上下位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上baa

abb●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●aacc被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢？acAc’Ca(c)a’第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知识§2-2点的投影§2-3直线的投影§2-4平面的投影§2-5直线与平面及两平面的相对位置§2-6换面法一、直线的投影特性⒈直线对一个投影面的投影特性⒉直线在三个投影面中的投影特性二、点与直线的相对位置三、直线与直线的相对位置⒈两直线平行⒉两直线相交⒊两直线交叉⒋两直线垂直相交（或垂直交叉）aaabbb●●●●●●§2-3直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面baababbaabba⑴投影面平行线①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角为α，与V面的角为β，与W面的夹角为γ实长实长实长βγααβbaaabb

反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)⑶一般位置直线投影特性：

三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。a”b”a’b’abABa’b’a”b”ab例：分析AB、AC、BD对投影面的相对位置。AB：正垂线

AC：一般位置直线

BD：正平线

例：已知水平线AB端点投影a、a’，AB对V面的倾角β=45°，长25，B在A的右前方，求直线两面投影。

aaXOb45°b求一般位置直线的真长直角三角形法abbabaαa’b’abBA△YB0△Z△ZTLα△Z△X△YTLβ△Z△Y△XTLγ●●●△X△X△Y△Z直角三角形法求真长的规律

此法是由直线的空间几何关系分析得到的，注意点是：（1）欲求TL和α

，需用水平投影ab和△Z为直角边做直角△，则斜边为TL，ab与斜边的夹角为α。（2）欲求TL和β

，需用正面投影a’b’和△Y为直角边做直角△，则斜边为TL，a’b’与斜边的夹角为β

。（3）欲求TL和γ

，需用水平投影a”b”和△X为直角边做直角△，则斜边为TL，a”b”与斜边的夹角为γ

。二、直线与点的相对位置◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abcabc①c②abcab●点C在直线AB上例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a

b上，故点K不在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法?三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbdaabcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDbdcacbaddbac

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影如何判断？HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影dbaabcdc1(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。3

4●●两直线相交吗？为什么？21⒋两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性(直角投影定理)：

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角，反之也成立。设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.证明：dabcabc●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知识§2-2点的投影§2-3直线的投影§2-4平面的投影§2-5直线与平面及两平面的相对位置§2-6换面法一、平面的表示法⒈平面对一个投影面的投影特性⒉平面在三投影面体系中的投影特性三、平面上的直线和点⒈平面上取任意直线⒉平面上取点二、平面的投影特性四、圆的投影§2-4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线●●●●●●abcabc平面图形1.用几何元素表示平面2.用平面的迹线表示平面一、平面的表示法平面的迹线：平面与投影面的交线。水平、正面、侧面迹线。迹线的集合点：两迹线相交时的交点，如图中的PX、PZ。实际应用中，常用平面的一条具有积聚性的迹线来表示特殊位置平面，如投影面垂直面和投影面平行面，图c。迹线平面：用迹线表示的平面。二、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面真实性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面abcacbcba(⒈)投影面垂直面类似性类似性积聚性铅垂面为什么？γβ是什么位置的平面？投影特性：垂直投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。

β

正垂面侧垂面abcabcabc(⒉)投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。正平面侧平面abcacbabc(⒊)一般位置平面三个投影都类似。投影特性：P：正垂面

R：水平面Q：铅垂面

例:分析立体表面P、Q、R对投影面的相对位置

三、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？⒉平面上取点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abcabkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解例2：判断点M、N是否在三角形ABC内。ddbbacmnacmnXOM：不在平面内

N：在平面内

bckadadbcadadbckbc例3：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二ababba例4:已知四棱台表面上点A、B的水平投影a、b，求另两面投影。四、圆的投影平行于投影面的圆

第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知识§2-2点的投影§2-3直线的投影§2-4平面的投影§2-5直线与平面及两平面的相对位置§2-6换面法一、平行问题⒈直线与平面相交⒉两平面相交三、垂直问题⒈直线⊥平面⒉平面⊥平面二、相交问题⒈直线//平面

2.平面//平面§2-5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。(公有性、从属性、平行实形性、可见性）§2-5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题

直线//

平面

平面//平面包括⒈直线//

平面定理

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。(公有性、从属性、平行实形性、可见性）n●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n⒉平面//

平面定理

若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。投影特性：若两相互平行的平面垂直于某一投影面，则在该投影面上具有积聚性的投影一定平行。二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。直线与平面中至少有一个处于特殊位置。直线与平面中均处于一般位置。abcmncnbam(a)平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●km(n)b●mncbaac(b)直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

两平面中至少有一个处于特殊位置。两平面均处于一般位置。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？⑴两平面均为特殊位置平面bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m

、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n●2●n●m●1●⑵一平面为投影面平行面，另一平面为一般位置平面cdefababcdef⑶一平面为投影面垂直面，另一平面为一般位置平面投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内，所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n●m●k●m●k●互交可见性推导原则1.相交两平面在投影重叠部分的可见性必然相反。2.交点、交线是可见性的分界，双方的可见性都过界相反。

一般位置情况：⑴直线和平面均处于一般位置k4312mnabcabcnmXOk4(3)Rv12(5)5作图步骤：

⑸用重影点判断可见性。⑴包含MN作辅助正垂面R，作出其具积聚性的正面迹线Rv。⑵求出平面R与ΔABC的交线12（12，1’2’）。⑶交线的水平投影12与mn的交点k就是所求交点的水平投影。⑷根据从属性由k求出k’，则K(k,k’)即直线与平面交点辅助平面法abcdefbcadefQvPvmsntmnllstkk2(1)213(3)XO作图步骤：

⑴包含DF作辅助正垂面P，与ΔABC交于MN,求其与DF交点L。同法再求EF与ΔABC交点K。⑵连接K和L的同面投影。⑶利用重影点分别判断各投影的可见性。辅助平面法全交？互交？

一般位置情况：

⑵二平面均处于一般位置三面共点法求二一般位置平面交线dcabedcabgfefgXOR1V1243123R2V4mn作图步骤：

⑴作辅助水平面R1。⑵R1与P、Q分别相交于ⅠⅡ和ⅢⅣ。⑶ⅠⅡ和ⅢⅣ交点M，即为二平面的一个交点。⑷

同法作平面R2，求出一个交点N。⑸

连接MN,即为所求交线。mn

一般位置情况：

⑵二平面均处于一般位置三、垂直问题直线⊥平面平面⊥平面⒈直线⊥平面

原理图直线与铅垂面垂直直线与正垂面垂直若一直线垂直于某投影平面上的两条相交直线，则该直线与此平面必垂直。特殊情况：2.平面⊥平面原理图二铅垂面垂直一般位置平面与铅垂面垂直

特殊情况：若一平面包含另一平面的一条垂线，则二平面垂直。

第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知识§2-2点的投影§2-3直线的投影§2-4平面的投影§2-5直线与平面及两平面的相对位置§2-6换面法一、问题的提出二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律⒈更换一次投影面⒉更换二次投影面⒊把一般位置平面投影面垂直面⒋把一般位置平面投影面平行面四、换面法的四个基本问题⒈把一般位置直线投影面平行线⒉把一般位置直线投影面垂直线五、换面法的应用§2-6换面法一、问题的提出★如何求一般位置直线的实长？★如何求投影面垂直面的真实大小？★如何求一般位置平面的真实大小？

换面法：物体在空间的位置不动，而用一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于有利于解题的位置，然后将物体向新投影面进行投影。解决方法：更换投影面。VHABabab二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHAaaaxX⒈更换一次投影面

旧投影体系X—VH

新投影体系1HX1—A点的两个投影：a，aA点的两个投影：a，a1⑴新投影体系的建立三、点的投影变换规律X11a1ax1VHX1HX1aaa1axax1.ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新旧投影之间的关系

aa1

X1a1ax1=aax点的二相间投影到投影轴的距离相等。axa一般规律：点的相邻投影的连线，垂直于新投影轴。.XVHaaax更换H面⑶求新投影的作图方法VHXP1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aaX1P1Va1axax1ax1更换V面●a1作图规律：..⒉更换两次投影面先把V面换成平面1，1H，得到中间新投影体系:1HX1—再把H面换成平面2，21，得到新投影体系:X2—12⑴新投影体系的建立按次序更换AaVHaaxXX11a1ax12X2ax2a2ax2aaXVH⑵求新投影的作图方法a2X1H1X212

作图规律

a2a1X2轴

a2ax2=aax1a1axax1..VHABabab四、换面法的四个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空间分析：

换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴的位置？a1●b1●与ab平行。.a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2b2ax2a2b2.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？

a

b

cabcdVHABCDX

d3.把一般位置平面变换成投影面垂直面

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？

思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！αab

cacbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。H1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。dd★将AD变换成新投影面的垂直线。d1●a1d1●c1●

反映平面对哪个投影面的夹角？.a1b1●需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P24.