第4章频率特性分析2014秋修改

中原工学院机械工程控制基础王振成制作：华中科技大学第四章频率特性分析时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率ω的谐波（正弦）输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。制作：华中科技大学一、频率特性概述（1）频率响应：系统对谐波输入的稳态响应

频率响应与频率特性例设系统的传递函数为若输入信号为xi(t)=Xisint

即则稳态输出（响应）与输入同频率与输入信号的幅值成正比制作：华中科技大学输入:xi(t)=Xisinωt

稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA()sin[ωt+(ω)]同频率幅值比A()

相位差()ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)制作：华中科技大学（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比，即相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差()

频率特性频率特性是ω的复变函数，其幅值为A()，相位为()。记为:A()·()或A()·ej()

幅角形式（或极坐标形式）指数形式制作：华中科技大学2.频率特性与传递函数的关系

设系统的传递函数为:输入信号为

xi(t)=Xisint

即则若无重极点,则有故若系统稳定,则有其中同理所以即故G(j)=G(j)ejG(j)就是系统的频率特性制作：华中科技大学3.频率特性的求法

(1)频率响应→频率特性

稳态输出（频率响应）如前例系统的传递函数所以所以系统的频率特性为或(2)传递函数→频率特性

如上例即频率响应(3)实验方法

制作：华中科技大学4.频率特性的表示法

(1)解析表示

(2)图示方法

幅频—相频幅频特性相频特性实频—虚频实频特性虚频特性Nyquist图（极坐标图，幅相频率特性图）Bode图（对数坐标图，对数频率特性图）制作：华中科技大学5.频率特性的特点

(1)频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型由Xo(s)=G(s)Xi(s)有

Xo(jω)=G(j)Xi(jω)而当xi(t)=(t)时，xo(t)=ω(t),且

Xi(jω)=F[(t)]=1故

Xo(jω)=G(jω)即

F[ω(t)]=G(jω)

(3)分析简便(4)易于实验求取(2)频率特性是系统单位脉冲响应函数(t)的Fourier变换制作：华中科技大学2014.11.12制作：华中科技大学二、频率特性的极坐标图(Nyquist图)G(j)：的复变函数给定，G(j)是复平面上的一矢量 幅值：A()=G(j) 相角(与正实轴的夹角，逆时针为正）：()=∠G(j) 实部:

U()=A()cos()

虚部：V()=A()sin()从0∞时， G(j)端点的轨迹：频率特性的极坐标图

（Nyquist图）制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(1)比例环节

传递函数：G(s)=K

频率特性：G(j)=K

幅频：G(j)＝Ｋ相频：G(j)=0o

实频：

U()=K

虚频：V()=0

实轴上的一定点，其坐标为(K,j0)

制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(2)积分环节

传递函数：G(s)=1/s频率特性：G(j)=1/j

幅频：G(j)＝1/

相频：G(j)=－90o

实频：

U()=0

虚频：V()=－1/

虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(3)微分环节

传递函数：G(s)=s频率特性：G(j)=j

幅频：G(j)＝

相频：G(j)=90o

实频：

U()=0

虚频：V()=

虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(4)惯性环节

当＝0时，G(j)=K，G(j)=0o当=1/T时，G(j)=0.727K，

G(j)=-45o当＝时，G(j)=0，G(j)=-90o传递函数：频率特性：幅频：相频：G(j)=－arctgT实频：虚频：当ω从0时，其Nyquist图为正实轴下的一个半圆，圆心为(K/2,j0)，半径为K/2。制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(5)一阶微分环节(导前环节）

传递函数：G(s)=1+Ts始于点(1,j0)，平行于虚轴频率特性：G(j)=1+jT

幅频：相频：G(j)=arctgT

实频：

U()=1

虚频：V()=T

制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(6)振荡环节

传递函数：频率特性：幅频：相频：实频：虚频：当=0，即＝0时，G(j)=1，G(j)=0o；当=1，即＝n时，G(j)=1/(2ξ)，G(j)=－90o；当=，即＝时，G(j)=0，G(j)=－180o；

（令λ=

/n），制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(6)振荡环节

当ω从0(即由0)时，G(j)的幅值由10，其相位由0o-180o。其Nyquist图始于点(1,j0)，而终于点(0,j0)。曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n，此时的幅值为1/(2ξ)

ξ<0.707时，G(j)在频率为r处出现峰值(谐振峰值，r－谐振频率)由有显然

r<d<n（有阻尼固有频率）制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(6)振荡环节

阻尼比ξ的影响ξ≥0.707， 无谐振ξ≥1， 两个一阶环节的组合制作：华中科技大学1.典型环节的Nyquist图(7)延时环节

传递函数：G(s)=es

频率特性：G(j)=ej=cos－jsin

幅频：G(j)＝1

相频：G(j)=－

实频：

U()=cos

虚频：V()=－sin

Nyquist图：单位圆

制作：华中科技大学2.绘制Nyquist图的一般方法

由G(j)求出其实频特性Re[G(j)]、虚频特性Im[G(j)]和幅频特性G(j)、相频特性G(j)的表达式；求出若干特征点，如起点(=0)、终点(=)、与实轴的交点(Im[G(j)]=0)、与虚轴的交点(Re[G(j)]=0)等，并标注在极坐标图上；补充必要的几点，根据G(j)、G(j)和Re[G(j)]、Im[G(j)]的变化趋势以及G(j)所处的象限，作出Nyquist曲线的大致图形。

制作：华中科技大学例1系统的传递函数解系统的频率特性＝0，U()=－KT，V()=－， G(j)=，G(j)=－90ｏ＝，U()=0，V()=0，

G(j)=0，G(j)=－180ｏ幅频：相频：G(j)=－90ｏ－arctgT实频：虚频：积分环节改变了起始点（低频段）制作：华中科技大学＝0，U()=－，V()=， G(j)=，G(j)=－180ｏ＝，U()=0，V()=0，

G(j)=0，G(j)=－180ｏ例2系统的传递函数解系统的频率特性幅频：相频：G(j)=－180ｏ－arctgT1－arctgT2

实频：虚频：U()=0制作：华中科技大学制作：华中科技大学3.

Nyquist图的一般形状

当ω＝０时： 对0型(v=0)系统，G(j)=K，G(j)=0ｏ，Nyquist曲线的起始点是一个在正实轴上有有限值的点； 对Ⅰ型(v=1)系统，G(j)=∞，G(j)=－90ｏ，在低频段，Nyquist曲线渐近于与负虚轴平行的直线； 对Ⅱ型(v=2)系统，G(j)=∞，G(j)=－180ｏ，在低频段，G(j)负实部是比虚部阶数更高的无穷大。当ω＝∞时，G(j)=0，G(j)=(m-n)×90ｏ。当G(s)包含有导前环节时，若由于相位非单调下降，则Nyquist曲线将发生“弯曲”。

制作：华中科技大学三、频率特性的对数坐标图(Bode图)Bode图分别表示幅频和相频①对数幅频特性图横坐标：ω，对数分度，标注真值；几何上的等分→真值的等比dec(10倍频程）②对数相频特性图横坐标：同上纵坐标：∠G(j)

，线性分度；特别：0dB，G(j)=1，输出幅值=输入幅值dB>0，G(j)>1，输出幅值>输入幅值(放大）dB<0，G(j)<1，输出幅值<输入幅值(衰减）纵坐标：G(j)的分贝值（dB)，dB=20lgG(j)；线性分度；制作：华中科技大学Bode图优点

作图简单：①化乘除为加减，系统的Bode图为各环节的Bode图的线性叠加；②可通过近似方法作图；便于细化感兴趣的频段；物理意义明显；环节对系统性能的影响明显；制作：华中科技大学2.典型环节的Bode图(1)比例环节

G(s)=KG(j)=K

20lgG(j)＝20lgＫ；G(j)=0o(2)积分环节G(s)=1/sG(j)=1/j

20lgG(j)＝20lg1/=－20lg

G(j)=－90o

对数幅频特性：过点（1，0）斜率－20dB/dec的直线对数相频特性：过点（0，－90o

）平行于横轴的直线制作：华中科技大学2.典型环节的Bode图(3)微分环节G(s)=sG(j)=j

20lgG(j)＝20lgG(j)=90o

对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线对数相频特性：过点（0，90o

）平行于横轴的直线制作：华中科技大学2.典型环节的Bode图始于点（ωT，0)，斜率－20dB/dec的直线(4)惯性环节令：故：对数幅频特性：低频段（ω<<ωT），20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB

高频段（ω>>ωT），20lgG(j)20lgT－20lgωT:转角频率制作：华中科技大学低频段渐近线：20lgG(j)0dB

误差：高频段渐近线：20lgG(j)20lgT－20lg误差：=0，G(j)=0°；=T，G(j)=－45°；=，G(j)=－90°；对数相频特性曲线对称于点(T，－45°)≤0.1T时，G(j)0°≥10T时，G(j)90°

对数相频特性：由：制作：华中科技大学2.典型环节的Bode图始于点（ωT，0)，斜率20dB/dec的直线对数幅频特性：低频段（ω<<ωT），20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB

高频段（ω>>ωT），20lgG(j)20lg－20lgT故：ωT:转角频率(5)一阶微分环节对数相频特性：=0，G(j)=0°；=T，G(j)=45°；=，G(j)=90°；对数相频特性曲线对称于点(T，45°)制作：华中科技大学2.典型环节的Bode图低频段（ω<<ωn；λ≈0），20lgG(j)0dB

（0dB线）

高频段（ω>>ωn；λ>>1），20lgG(j)－40lgλ=－40lg＋40lgn（始于点（ωn，0)，斜率－40dB/dec的直线）(6)振荡环节对数幅频特性：ωn:转角频率制作：华中科技大学2.典型环节的Bode图(6)振荡环节误差：低频段高频段对数相频特性：=0，G(j)=0°；=n，G(j)=－90°；=，G(j)=－180°；对数相频特性曲线对称于点(n，－90°)制作：华中科技大学2.典型环节的Bode图(7)二阶微分环节

与二阶振荡系统Bode图对称于频率轴。(8)延时环节G(s)=esG(j)=ejG(j)＝1G(j)=－

20lgG(j)＝0dB因对数分度，直线→曲线制作：华中科技大学制作：华中科技大学3.系统Bode图的绘制G(s)→标准形（常数项为1）→G(j)

求典型环节的转角频率（惯性、一阶微分、振荡和二阶微分环节）作出各环节的对数幅频特性的渐近线误差修正（必要时）将各环节的对数幅频特性叠加(不包括系统总的增益K)将叠加后的曲线垂直移动20lgK，得到系统的对数幅频特性作各环节的对数相频特性，然后叠加而得到系统总的对数相频特性有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上－(1)环节曲线叠加法制作：华中科技大学3.系统Bode图的绘制例(1)环节曲线叠加法G(s)→标准形→G(j)转角频率ωT1=0.4ωT2=40ωT3=2各环节的对数幅频特性的渐近线，叠加，平移各环节的对数相频特性曲线，叠加制作：华中科技大学3.系统Bode图的绘制(2)顺序斜率法在各环节的转角频率处，系统的对数幅频特性渐近线的