大一下微积分课件-11 -6傅氏级数

1三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数小结思考题问题的提出11.6

傅里叶(Fourier)级数正弦级数或余弦级数

上一节详细研究了一种重要的函数项级数:幂级数.

下面研究另一种重要的函数项级数:这种级数是由于研究周期现象的需要而产生的.它在电工、力学和许多学科中都有很重要的应用.

傅里叶(Fourier,1768-1830)法国数学家和物理学家.法国科学院院士,英国皇家学会会员.傅里叶级数.一、问题的提出非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加设想一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解为简谐振动的迭加.会给分析问题带来方便.

是把一个复杂的周期函数f(t)反映在数学上,的迭加,表示为各类正弦函数谐波分析或再利用三角恒等式,变形为即二、三角级数三角函数系的正交性1.三角级数谐波分析三角级数2.三角函数系的正交性三角函数系三、函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?1.傅里叶系数设f(x)是以2π为周期的函数,傅里叶系数17称为函数f(x)(诱导出)的傅里叶级数(或傅氏级数),f(x)

记为用它们作系数三角级数定义设f(x)是以2π为周期的函数,则上面确定的系数a0,an,bn(n=1,2,…)称为函数f(x)的傅里叶系数(或傅氏系数),傅里叶级数问题:2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.解所给函数满足狄利克雷充分条件.例

以2π为周期的矩形脉冲的波形将其展开为傅氏级数.和函数图象为奇偶和函数图像所求函数的傅氏展开式为

设函数f(x)以为周期,且其傅氏级数在处收敛于().研究生考题,填空,3分练习24周期函数的傅里叶级数解题程序:并验证是否满足狄氏条件(画图目的:验证狄氏条件;由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅氏系数;(3)写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f(x).(1)画出f(x)的图形,注意:对于非周期函数,如果函数只在区间上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.作法:解所给函数满足狄利克雷充分条件.

拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.偶函数所求函数的傅氏展开式为奇函数利用傅氏展开式求级数的和为周期的傅氏级数的和函数S(x)在上的解S(x)=练习表达式.32由奇函数与偶函数的积分性质的公式,易得下面的结论.和傅里叶系数此时称傅里叶级数为正弦级数,四、正弦级数和余弦级数它的傅里叶系数为即(1)当周期为2π的奇函数f(x)展成傅立叶级数时,33此时称傅里叶级数为注将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数是非常有用的.是否有奇偶性,(cosineseries)余弦级数它的傅里叶系数为(2)当周期为2π的偶函数f(x)展成傅立叶级数时,即解所给函数满足狄利克雷充分条件.和函数图象观察两函数图形解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.41函数延拓到一个周期[-π,π]上函数定义在[0,π]上函数按周期延拓到整个数轴上定义在[0,π]上的函数展开成傅立叶级数42

奇延拓

偶延拓正弦级数.偶函数,奇函数,余弦级数;因而因而展开成展开成把[0,π]上的函数延拓到[-π,π]上有两种:(1)使函数成为[-π,π]上(2)使函数成为[-π,π]上解(1)求正弦级数.(2)求余弦级数.

设函数(1)把f(x)展开为正弦级数;(2)求级数的和函数S(x)在解练习(1)上的表达式;正弦级数p±¹,0x

级数的和函数S(x)的周期为如图所示从图上看更明显(2)求级数的和函数S(x)在上的表达式;解解48基本概念(三角级数、三角函数系的正交性)函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、傅里叶傅里叶级数的意义——整体逼近五、小结函数f(x)在区间[0,π]展开为傅里叶正弦级数特点:问题明确,