华东交通大学材料力学应力状态

第八章应力应变状态分析2023/1/151引言平面应力状态应力分析应力圆极限应力与主应力复杂应力状态的最大应力平面应变状态应变分析广义胡克定律2023/1/152一、引言2023/1/153轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：应力状态/应力状态的概念及其描述（一）应力状态的概念2023/1/154此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/155

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/156

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1571、应力的面的概念应力的三个重要的概念2、应力的点的概念3、应力状态的概念应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/158

微单元

dxdydz,,®0（二）一点应力状态的描述应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/159

若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可确定任意方向面上的正应力和切应力。应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1510FF示例一S平面111应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/15111FFS平面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1512示例二：FPl/2l/2S平面应力状态/应力状态的概念及其描述5432154321S平面2023/1/151354321543211S平面23应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1514主应力：主平面上的正应力主平面：单元体上剪应力为零的平面通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以s1，s2

和

s3表示，且s1s2

s3应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1515x-y坐标系x'－y'坐标系xp-yp坐标系★同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：应力状态/应力状态的概念及其描述主应力单元体2023/1/1516三向（空间）应力状态应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1517平面（二向）应力状态应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1518xyxy单向应力状态纯剪应力状态应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1519三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例应力状态/应力状态的概念及其描述2023/1/1520二、平面应力状态分析xy求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力。ef应力状态/平面应力状态分析2023/1/1521拉为正压为负1、正应力正负号规则应力状态/平面应力状态分析2023/1/1522使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。切应力正负号规则应力状态/平面应力状态分析2023/1/1523由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。yx

角正负号规则应力状态/平面应力状态分析2023/1/1524efa平衡对象——用ef斜截面截取的微元局部2、利用截面法及微元局部的平衡方程dAnt应力状态/平面应力状态分析dA·cosdA·sinxyef2023/1/1525参加平衡的量——应力乘以其作用的面积

平衡方程——及应力状态/平面应力状态分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1526s-cos)cos(dAx-sydA(sin)sindA

s+tdA(cos)sinxy+tdA(sin)cosyx应力状态/平面应力状态分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1527tdA-sxdA(cos)sin-txydA(cos)cos+sydA(sin)cos+tyxdA(sin)sin应力状态/平面应力状态分析efadAntdA·cosdA·sin2023/1/1528解得：用斜截面截取，此截面上的应力为应力状态/平面应力状态分析2023/1/1529因此即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。即又一次证明了剪应力的互等定理。应力状态/平面应力状态分析2023/1/1530

三、应力圆1、应力圆方程应力状态/应力圆(1)(2)2023/1/1531Rc应力圆（Mohr圆）应力状态/应力圆应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力a2023/1/1532在t

-s坐标系中，标定与微元A、D面上应力对应的点a和d

连ad交s

轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。ADa(sx,txy)d(sy,tyx)cR2.应力圆的画法应力状态/应力圆2023/1/1533

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力3、几种对应关系caA应力状态/应力圆2023/1/1534yx转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；CaAa'2二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。应力状态/应力圆(sx,txy)DEo2qp2023/1/15354、应力圆的应用——信息源思维分析的工具，而不是计算工具。应力状态/应力圆2023/1/1536sxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE5、基本变形的应力状态单向拉伸应力状态/应力圆2023/1/1537单向拉伸x'y'BEsxsxsx'tx'y'ty'x'sy'BE应力状态/应力圆2023/1/1538可见：45º

方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。应力状态/应力圆2023/1/1539ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºsy'＝tsx'＝tBE纯剪切应力状态/应力圆2023/1/1540sx'＝tsy'＝tBEttBE纯剪切应力状态/应力圆2023/1/1541结果表明：

45º方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。应力状态/应力圆2023/1/1542利用解析法得到：由将0值代入，得：应力状态/应力圆2023/1/1543四、极值应力与主应力（一）主平面、主应力与主方向tyxsxsytxytsoc2α0adAD主平面：t

=0,与应力圆上和横轴交点对应的面应力状态/应力圆2023/1/1544txysxsytyxAD主应力的确定tsoc2α0ad应力状态/应力圆2023/1/1545主应力表达式应力状态/应力圆2023/1/1546

主应力排序：

s1s2

s3tsoc2qpadtsotso应力状态/应力圆2023/1/1547txysxsytyxADtsoc2α0ads1s2s1s1α0s2s2(sx,txy)主方向的确定负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向应力状态/应力圆g2023/1/1548对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”。tmax（二）面内最大切应力应力状态/应力圆tsoc2α0ad2023/1/1549应力状态/应力圆例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知

试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。AD2023/1/1550（一）、图解法otscdfe应力状态/应力圆解：2023/1/1551主应力单元体：应力状态/应力圆2023/1/1552（1）斜面上的应力应力状态/应力圆（二）、解析法2023/1/1553（2）主应力、主平面应力状态/应力圆2023/1/1554主平面的方位：哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：应力状态/应力圆2023/1/1555主应力的方向：主应力的方向：++应力状态/应力圆2023/1/1556例2：一点处的平面应力状态如图所示。已知

求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。120ºotsCa120ºD解：（1）作应力圆应力状态/应力圆b2023/1/1557（2）根据应力圆的几何关系确定主应力120ºotsa120ºb半径因此主应力为：应力状态/应力圆2023/1/1558（3）绘出主应力单元体。120ºotsa120ºbCDs1s2s2s1应力状态/应力圆2023/1/1559★分析：1、本题亦可用解析法求解。2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：应力状态/应力圆CD2023/1/15603、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。otsa应力状态/应力圆2023/1/1561五、复杂应力状态的最大应力

三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态；

特例——三个主应力及其主方向均已知。定义应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1562s1s2s3

三向应力状态的应力圆应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1563tsIIIIIIs1s2s3应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1564tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之应力与s1无关，于是由s2

、s3可作出应力圆I平行于s2的方向面－其上之应力与s2无关，于是由s1

、s3可作出应力圆

II平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1

、s2可作出应力圆IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1s1s2s3应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1565s1s2s3IIIIIIs1s2s3ts在-平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1566'st'IIIIIIs1s2s3t't'''t''tmax=在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：应力状态/三向应力状态的概念zpypxps3s2s12023/1/1567

三向应力状态中（方向与及成45°角）应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1568szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知sytxytyxsxsz三向应力状态特例的一般情形应力状态/三向应力状态的概念2023/1/156920030050otmax平面应力状态作为三向应力状态的特例:应力状态/三向应力状态的概念2023/1/157020050O30050应力状态/三向应力状态的概念2023/1/157130050O应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1572(1)(2)排序确定(3)平面应力状态特点：作为三向应力状态的特例应力状态/三向应力状态的概念2023/1/1573xyO一、叠加法求应变分析公式abcdaAOB剪应变：直角的增大量为正！（只有这样，前后才对应）DD1EE1六、平面应变状态应变分析应变状态/应变分析公式2023/1/1574xyOabcdaAOBDD2EE2应变状态/应变分析公式2023/1/1575DD3EE3xyOabcdaAOBαα应变状态/应变分析公式2023/1/1576应变状态/应变分析公式2023/1/15772、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系建立应变坐标系如图在坐标系内画出点

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB与a

轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。eaga/2ABC应变状态/应变圆2023/1/1578eaga/2三、方向上的应变与应变圆的对应关系maxmin20D(，/2)2n方向上的应变(，/2)

应变圆上一点(，/2)方向线应变圆的半径两方向间夹角两半径夹角2

；且转向一致。ABC应变状态/应变圆2023/1/1579四、主应变数值及其方位应变状态/应变圆2023/1/1580七、广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律1、横向变形与泊松比（各向同性材料）--泊松比yx2023/1/158112、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法++23应力状态/广义胡克定律2023/1/1582123123应力状态/广义胡克定律2023/1/1583312应力状态/广义胡克定律2023/1/1584123应力状态/广义胡克定律2023/1/1585★分析：1、即2、当时，即为二向应力状态：3、当时，即为单向应力状态；即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。应力状态/广义胡克定律2023/1/15864、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：yxz应力状态/广义胡克定律2023/1/15873、三个弹性常数之间的关系应力状态/广义胡克定律2023/1/15884、各向异性材料的广义胡克定律各向异性材料受力时，正应力会引起切应变，而切应力也会引起线应变。完全各向异性的材料在一般空间应力状态下，三个相互垂直平面上的6个独立的应力分量sx、sy、sz、tyz、tzx、txy中的每一个都可引起6个应变分量ex、ey、ez、gyz、gzx、gxy。应力状态/广义胡克定律2023/1/1589从而在线弹性范围内且小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系可表达为应力状态/广义胡克定律2023/1/1590上式即是完全各向异性材料的广义胡克定律。式中的Cij为弹性常数，其第一个下角标i（＝1，2，┅，6）表示它对应于应变分量ex、ey、ez、gyz、gzx、gxy中的第几个，例如C24表示ey对应于tyz的弹性常数。从式中可见，完全各向异性的材料总共有36个弹性常数。利用功的互等定理很容易证明，上列弹性常数中存在Cij=Cji这一互等关系，也就是说，在上列一组式子中有(36－6)/2＝15对弹性常数是互等的。可见完全各向异性的材料只有36－15＝21个独立的弹性常数。应力状态/广义胡克定律2023/1/1591

对于完全各向异性的材料，若沿x、y、z方向的正应力为主应力s1、s2、s3，因而txy＝0，tyz=0，tzx=0，则按广义胡克定律有可见在任何两个主应力构成的平面内均发生有切应变，所以主应力方向并非主应变的方向，或者说，主应力方向和主应变方向不相重合。应力状态/广义胡克定律2023/1/1592工程上应用的将单向排列碳纤维浇注于环氧树脂中形成的单向复合材料，它们具有三个弹性性能对称面(参见下图)，从而具有三个弹性性能对称轴，这种各向异性材料称为正交异性材料(orthogonalcompositematerial)。应力状态/广义胡克定律2023/1/1593当正交异性材料中一点处三个相互垂直面上的六个独立应力分量均平行于材料的弹性对称轴时，根据对称性原则可知，这三个面上的正应力在弹性对称轴方向只产生线应变，这三个面上的切应力只在它们各自的自身平面内产生切应变。应力状态/广义胡克定律2023/1/1594因此，当正交异性材料一点处的六个独立应力分量平行于材料的弹性对称轴x，y，z时，广义胡克定律为考虑到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交异性材料共有9个独立的弹性常数。应力状态/广义胡克定律2023/1/1595思考:图中x轴和y轴为正交各向异性材料的弹性性能对称轴，从该材料中一点处取出的单元体如图a所示，受纯剪切；变形后如图b。试论证这种情况仍符合对称性原则。xyxy(a)(b)应力状态/广义胡克定律2023/1/1596例3：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出线应变。现测得轴向应变，45°方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。FmmFkuu45°应力状态/广义胡克定律2023/1/1597解：（