第12章-真空中的静电场

本章重点：高斯定理,电场与电势的计算本章作业：3,4,5,6,7,8,9,15,16,18,19第十二章真空中的静电场本章内容：静电场的两个实验定律，两个基本定理和两个基本物理量及其相互关系。

物体带电是中性物体获得或失去电荷而造成的。电量：物体所带电（荷）的多少叫电量。换句话说电量是物体带电多少的量度。电量的单位：库仑(C).物体有了吸引轻小物体的性质就说它带了电或有了电荷。使物体带电称为起电，有摩擦起电；感应起电；光照起电等。归纳出：①电荷只有两种：正电荷和负电荷；

②同性电荷相斥，异性电荷相吸。§12.1电荷库仑定律12.1.1电荷(charge)1．两种电荷

2．电荷的量子化(quantizationofcharge)电子电量是电量的最小单元。e≈1.60×10-19C

在一个孤立系统内发生的任何变化过程中，电荷总数(正负电荷的代数和)保持不变。此结论称为电荷守恒定律。12.1.2

电荷守恒定律(Lawofconservationofcharge)夸克模型预言：存在e/3,2e/3的分数电荷，但至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克。

一切带电体的电量都是电子电量e的整数倍q=ne.可见电量是不连续的。即电荷是量子化的，最小量子是e.3．电荷的运动不变性事实证明，一个电荷的电荷量与它的运动状态无关。即电荷具有运动不变性。即电荷具有相对论不变性。

1.点电荷（Pointcharge)带电体的几何线度比起它到其它带电体的距离小得多，这时带电体的形状和电荷在其中的分布已无关紧要，可以抽象成一个几何点，称为点电荷。12.1.3库仑定律（Coulomb’sLaw)２.库仑定律①点电荷具有相对意义；②任何带电体都可看成点电荷的组合。库仑定律：表示由施力者指向受力者方向上的单位矢量

在SI中，实验测得：k≈9×109Nm2/C2

为使库仑定律推出的其它公式中不含４π因子，令k=1/4πε０适用范围：在从10-15m

~107m的广大范围内都被证明是正确有效的。但是库仑定律只适用于静止的点电荷。库仑定律的矢量形式为：的方向：同性相斥、异性相吸讨论：例题12-1

α粒子（即氦原子核）的质量m=6.68×10-27kg、带电q=3.2×10-19c，试比较两α粒子间的静电斥力与万有引力。

解:静电斥力为万有引力为两力之比为显然在微观粒子的相互作用中，万有引力与静电力相比要小的多，完全可以略去。12.1.4静电力的叠加原理

(superpositionprincipleofelectrostaticfield)静电力的独立作用原理：两个静止点电荷之间的作用力并不因第三个静止点电荷的作用而有所改变。静电力的叠加原理：两个以上静止点电荷的作用力等于各个静止点电荷单独存在时对该静止点电荷作用力的矢量和。

对由n个点电荷q1,q2,···qn组成的点电荷系，若以F01,F0２,···F0n分别表示它们各自单独存在时对q0的作用力，则q0受到的静电力的合力为电荷连续分布时,可把带电体分成很多无限小的电荷元dq，由库仑定律求出各电荷元dq对点电荷q0的作用力，再求合力即可。

若电荷分布于某物体的表面层时，该电荷称为表面电荷，单位面积上的电荷称为电荷面密度(surfacechargedensity)

若电荷分布于某曲线上，该电荷称为线电荷，单位长度上的电荷称为电荷线密度(linearchargedensity)

若电荷分布于空间某一体积内，该电荷称为体电荷，单位体积内的电荷称为电荷体密度(volumechargedensity)如果计算第一个电荷连续分布的带电体对第二个电荷连续分布的带电体的作用力，把每个带电体分成无限多个可以看成点电荷的电荷元。其第一、二个带电体的电荷元分别用dq1和dq2表示，同样由库仑定律和静电力叠加原理，可得两电荷元之间的静电力为则两个带电体之间的相互作用的静电力为注：式中的积分遍及两个带电体。

例题12-2两根相同的均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ，沿同一直线放置两细线间的距离也是L,设棒上电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。解：选取坐标系，在两细棒上分别选取线元dx,dx’,其坐标分别为x,x’,带电量分别为λdx，λdx’,由库仑定律得F方向为x正向，左棒受右棒库仑力L12.2.1电场

(electricfield)§12.2

电场电场强度历史上的两种观点:①超距作用观点认为：电荷之间的作用力不必通过任何介质，可超越距离，瞬时地从一个电荷传递给另一个电荷。②近距作用观点认为：电荷之间的作用力不可能通过虚无的空间而超距的发生，必须通过充满整个宇宙空间的弹性媒质—以太来传递。

任何电荷在周围空间都要激发电场，而电场的基本性质就是对处在电场中的其它电荷施加力的作用。电荷电场电荷近代科学证明：超距作用观点是错误的；实验也否定了以太的存在，电力是通过电场传递的。异点：①实物是由原子、分子组成，看得见，摸得着，场物则不同；②场物有空间可入性，且互不发生影响。实物则没有；③实物的运动速度不能达到光速，而场物一般以光速运动。电场与实物的异同点同点：①场跟实物一样，也有质量、能量、动量和角动量；②场物也遵从质量守恒，动量守恒，角动量守恒；③场物跟实物一样，在存在形式上也具有多样性。相对观察者静止的电荷在其周围空间激发的电场称为静电场.静电场的对外表现主要有：①引入电场中的任何带电体都将受到电场所作用的力；②当带电体在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体做功，这表示电场具有能量；③电场能使引入电场中的导体或电介质分别产生静电感应现象或极化现象。12.2.2电场强度

(electricfieldintensity)1、试探电荷：理论和实践表明：①将同一试探电荷放在电场中不同点，它受的力一般不同，表明电场是按空间分布的。②将不同试探电荷放在电场中同一点，它们受的力也不相同，表明电场力不仅与场点有关而且与试探电荷有关。①线度应足够小。（为什么？）检验空间某点是否存在电场以及电场的强弱的电荷。②电量应足够小。要求：2、电场强度的定义：（由于它的引入不致引起原有电量的重新分布。）定义：单位：牛顿/库仑（N/C）说明：3）若，则为均匀电场，各点场强大小、方向相同。1）是矢量，一般情况下。2）描述场的性质，与试探电荷qo无关，不是力。对给定场点的比值与q0

无关，仅与场点有关。4）点电荷在电场中所受的力为对静电场12.2.3点电荷的场强点电荷产生的电场中场强的分布特点是：1、q一定时，电场强度的大小只与场点到场源电荷的距离有关，即以场源电荷为球心的任一球面上各点的场强大小相等；2、电场强度的方向沿以场源电荷为中心的径矢或其反向，通常称这样的电场为球对称的。12.2.4

电场强度的叠加原理根据场强的定义，则有点电荷系在某点产生的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。—场强叠加原理点电荷系电场中的场强任意带电体电场中的场强对电荷连续分布,把电荷q视为无限多个电荷元dq的集合，可把带电体分成许多无限小的电荷元dq，而电荷元dq产生的场强为根据场强叠加原理积分遍及场源电荷。常把矢量积分投影化为标量积分，以简化计算整个带电体产生的场强直角坐标系中例12-3

电偶极子连线延长线上一点P和中垂面上一点Q的电场强度。解：①延长线②中垂面定义：若r>>l,则称这种带电体系为电偶极子。为电偶极子的电偶极矩(简称电矩),记为:延长线上中垂面上解：选直角坐标系，取线元dl,dq=λdl,λ＝q/L.电荷元dq在P点产生场强为

例题12-4均匀带电直线的电场。已知q,L,a,θ1,θ2aEEyx0201pelpqq===,)(＝，则有：，无限长直线：讨论：210aEaEyx004422pelpelpqpq=-===,)(，则有：，半无限长直线：21积分：例12-5：均匀带电圆环轴线上的电场强度。半径为R,带电为q,求距环心x处P点的场强。由电荷分布的对称性，dE⊥互相抵消，只有dE∥分量。讨论：(1)圆心处x=0时，E=0;(2)x>>R时，该圆环可看成点电荷。2020241412rlRqrqElRqlddd

ddq

,

d

:ppepep===圆环上取解总场强为:方向沿x轴背离点O例题12-6均匀带电圆盘轴线的电场。圆盘半径为Ｒ，面电荷密度为σ（σ＞０﹚，求轴线上

x处p

点的Ｅ。讨论：无限大带电平面。可视为点电荷时1）根据给定的电荷分布，恰当选择电荷元dq和坐标系。2）应用点电荷场强公式，写出dq

在场点产生的dE。总结：求的步骤。注意注意电荷分布的对称性；注意微元及坐标选取的技巧；正确确定积分上下限。讨论的问题：1.对点电荷的场强，当r→0时，E→？如何解释？2.对电荷连续分布的情况，在计算静电力和场强时，如何选取电荷元？3.电荷的量子化与电荷的连续分布是否矛盾？4.不同点的场强是否可以叠加？5.场强是点函数吗（微观点或宏观点或二者都是）？6.当多个带电体给定时，空间一点的场强是否唯一确定？§12.3

高斯定理b.注意：①电场是客观存在的，而电场线纯属人为，并非客观存在。②电场线形象，但电场实际上连续分布于空间，电场线可能会给人造成一种电场是分立的错觉。a.约定:(1)曲线上每一点的切线方向应与电场方向一致；(2)通过某点垂直于电场的单位面积的电场线的条数等于该处场强的大小，12.3.1电场线（电力线）电场线疏密电场强度大小c.性质:(1)电场线起自于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无电荷的地方不间断，也不相交。具有这种特性的场称为有源场。(2)静电场的电场线不能形成闭合曲线。具有这种特性的场称为无旋场。故静电场是有源无旋场12.3.2电通量

把穿过某曲面的电场线的条数称为通过该曲面的电通量。(1).均匀电场中与场强垂直的平面通过S面的电场线的总条数为为了表示面积元dS的方位，可利用面积元的法线方向将其表示为矢量称为面元矢量，即(3).非均匀电场中的任意曲面把曲面分成无限多小面元dS，使得①每一个无限小面元dS可视为平面；②每一个面元dS上E可以视为均匀的。则通过dS的电通量为通过曲面S的电通量为(2).平面S的法线方向与场强的夹角为θ所以SI:Φe单位牛顿·米2/库。N

m2/C注意：1.电通量是标量且不是点函数，只能说某曲面或某面元的电通量是多少，而不能说通过某一点的电通量是多少，对某点谈电通量无意义3．电通量的叠加原理。若是一个闭合曲面

当电场线穿出时，当电场线穿入时，2.电通量是代数量，可正、可负、可以为零。对于闭合曲面，规定曲面法线方向由内向外为正方向；多个点电荷通过某曲面的电通量等于它们单独存在时电通量的代数和

高斯定理：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量代数和的1/ε0倍。而与闭合面外的电荷无关。该闭合曲面称为高斯面。设真空中有一正点电荷q，以它为球心作一半径为r的球面。在球面上任取一面元dS，则通过dS的电通量(1)闭合曲面为球面且点电荷在球心的情形12.3.3高斯定理表明，Φe只取决于q，与r无关，即以q为球心的任意大小的闭合球面，通过球面的电通量都是q／ε0结论：对于每一个正电荷必发出q／ε0条电场线，而对每一个负电荷q也必将有q／ε0条电场线终止于电荷上。简单的推证（3）点电荷在闭合曲面外的情形由电场线的连续性知，从一侧进入S的电场线条数一定等于从另一侧穿出的电场线条数，所以净穿出闭合面S的电场线总条数为零。因此通过任意形状的包围点电荷q的闭合面的电通量都等于q／ε0.（2）点电荷在任意闭合曲面内的情形任意闭合面S’与球面包围同一点电荷，因电场线是连续的，通过闭合面S和S’的电场线条数是相同的，对任意的闭合曲面S’仍有（4）电荷系即：综上所述,可得到当电荷连续分布时静电场的高斯定理说明∶(1)高斯定理表明静电场为有源场，源为电荷。

(2)高斯面上的场强是由面内,面外电荷共同产生的。(4)高斯定理是电磁场理论的基本方程之一

(3)通过闭合曲面的总电通量仅由它所包围的电荷决定，与闭合曲面外部的电荷无关。②高斯面上各部分或者与E垂直，或者与E平行，与E垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等；③高斯面应是形状简单的几何面。①根据电荷分布和场强分布，判定能否用高斯定理求场强。事实上只有当场强分布具有球对称性，平面对称性，轴对称性时，才能用高斯定理求场强。否则不能应用，这并不意味着高斯定理不适用于非对称性问题，而是不能用它求出场强。②选取适当的高斯面（球面、柱面、圆柱面），使场强E从积分号中提出。12.3.4利用高斯定理求静电场的分布高斯面应满足的要求：①高斯面一定要通过所求场强的那一点；应用高斯定理计算场强的方法：③计算通过高斯面的电通量和高斯面所包围的电荷，然后利用高斯定理求场强。解：①由于电荷分布是球对称的，场强分布也一定是球对称的。即场强方向总是沿着矢径方向，与球体同心的球面上各点的场强大小相等—球对场。②选半径为r的同心球面作为高斯面。③电通量例12-7均匀带电球体（半径R、带电量q）内、外的电场分布例题12-8求线电荷密度为λ、半径为R的无限长均匀带电圆柱体内、外的场？电场线的方向必与带电圆柱垂直且呈辐射状，到轴线等距离的各点场强大小相等—轴对称性。即轴对称性是在任何与电荷分布具有轴对称性且与轴线垂直的平面上距轴线等远的点场强大小相等，方向与轴线垂直呈辐射状。②取轴线为轴，长为l，半径为r的圆柱面为高斯面。解∶①对称性分析：电荷分布于无限长圆柱上，解∶①对称性分析：电荷分布具有平面对称性，电场也是平面对称的。即距离平板等距离的各点处场强的大小相等，方向处处与平板垂直。例题12-9求面电荷密度为σ的均匀带正电的无限大平板的电场强度分布。②选取过场点穿过带电平板的对称圆柱面为高斯面③电通量为正时垂直于板面向外，为负时向里。可见,无限大带电平板外部的场强为匀强电场。[例]求均匀带电球面内外的场强。解:由电荷分布是球对称知场强分布也一定是球对称的。1、在球内（r<R），由高斯定理，得:即:2、在球外(r>R)，由高斯定理，得：

结果为:说明:1.利用高斯定理求场强的条件:

电荷分布必须具有一定的对称性.2.利用高斯定理求场强步骤∶(1)分析场强分布的对称性,画出场强的方向,判断场强的大小与哪些因素有关。(2)合理选取高斯面,计算电通量. (3)计算高斯面包围的电荷电量.(4)用高斯定理求场强[例]一对无限大均匀带电平面的电场

讨论的问题：1.电场线是怎样描述场强的大小和方向？2.电通量是标量吗？它的正、负与什么因素有关？3.高斯定理反应了电场的什么性质？4.什么情况下可用高斯定理计算场强？5.选取高斯面时应满足什么条件？6.用高斯定理计算场强与用场强叠加原理计算场强有哪些异同？7.在哪三种对称性的情况下选取适当的高斯面，可求出场强，其场强的通常的形式是什么（E∝？）？§12.4静电场的环路定理电势1.静电场力做功与路径无关①单个点电荷产生的电场12.4.1静电场的环路定理可见对点电荷场:静电场力所作的功与路径无关,只与路径的起点和终点位置有关。②任意带电体产生的电场可看成点电荷组，总场强为

每一项都与路径无关，故A也与路径无关。由于做功与路径无关,静电场强沿任一闭合路径的线积分为零，或静电场力作功与路径无关称为静电场的环路定理。试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试探电荷的大小及起点、终点的位置有关，而与路径无关。2.静电场的环路定理静电场的环流等于零表明:静电力对电荷所作的功与路径无关.静电场是无旋场.任何做功与路径无关的力场叫做保守场或有势场.静电场是保守力场,静电力是保守力.在保守力场中可以引进势能的概念.电场力所作的功等于电势能的减少如果选b点的电势能为零,则通常当电荷分布于有限区域内时,零点选在无穷远,通常写成用Wa和Wb分别表示试探电荷q0在起点a和终点b处的电势能，则12.4.2电势能12.4.3电势电势差

电势能与试探电荷的比值与试探电荷无关，只由电场和场中位置决定，是反应电场性质的物理量，称为电势。电荷在电场中某点的电势能等于将它从该点移到电势能参考点时，电场力作的功。电势能是电场和场中电荷共同所有的。例如：q0在点电荷q

的场中的电势能(无穷远处为零点)１.电势场强与电势的积分关系电场中某点的电势在量值上等于放在该处单位正电荷的电势能,或等于单位正电荷从该点经任意路径移到零电势点处时电场力所作的功。沿电场线方向电势降低。电势是标量，且是点函数。具有相对意义，只有选取零点后，才有确定值。电势零点的选择：①理论上，对有限的带电体常选取无限远处为参考点，认为无限远处的电势为零（对无限带电体则不行）。这样选取后，对点电荷，正电荷电场中各点的电势值总是正的，负电荷电场中各点的电势值总是负的，且表示式简单.②实际上常选取地球的电势为零。在电路中常选取机壳、正、负极的电势为零。在静电场中，任意两点a,b之间的电势之差称为电势差。从a到b电场力作的功２.电势差注意:电势与零点的选择有关,而电势差与零点的选择无关。（1）点电荷的电势1．利用电势叠加原理计算电势12.4.4电势的计算 n个点电荷q1,q2,...qn激发的电场中，由场强叠加得P点电势（2）电势叠加原理

（3）电荷连续分布的电势对电荷连续分布的情况，可划分成无限多个电荷元dq，而某一dq在场点产生的电势为电势叠加原理整个带电体的电势体分布面分布

线分布

dlPxrOxRq例题12-10求带电圆环轴线上的电势分布。电量为q，半径为R.2.利用电势的定义计算电势

对电荷分布有限或电荷分布无限但电势零点（或某点电势）已知，可直接用例题12-11求均匀带电球面、内外的电势分布。带电量为q，球面半径为R。解∶由高斯定理可易求得对球外的P点，其电势为球内P点的电势：例题12-12如图所示，一半径为R的无限长圆柱形带电体，其体电荷密度，式中A为常数，试求：（1）圆柱体内、外各点电场强度的大小分布；（2）选距轴线距离为l（l>R）处的电势为零，计算圆柱体内、外各点电势分布。解（1）取半径为r高为h的闭合同轴圆柱面为高斯面，则穿过圆柱面的电通量为当时，包围在高斯面内的总电荷量为由高斯定理得当时，包围在高斯面内的总电荷量为由高斯定理得当时，圆柱体内任一点的电势为