2023学年湖南省普通高中高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（）A． B． C． D．4．函数的图像大致为（）A． B．C． D．5．A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为（）A．8 B．7 C．6 D．57．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1110．若数列满足且，则使的的值为()A． B． C． D．11．已知命题，那么为（）A． B．C． D．12．下列函数中，图象关于轴对称的为（）A． B．，C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________14．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．15．已知向量，且，则___________.16．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，则展开式所有项系数之和为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足：对任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比数列，求的通项公式；（3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列.18．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）19．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.20．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．（1）求p的值；（2）求证：数列{an}为等比数列；（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．21．（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有.22．（10分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决.【详解】由已知可得，，所以，从而双曲线方程为，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时，此时，所以，，所以；当轴时，，所以，又为锐角三角形，所以.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题.2．C【解析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与终边相同的角=+其中.3．C【解析】

先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：，共种，所以目标事件的概率.故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.4．A【解析】

根据排除，，利用极限思想进行排除即可．【详解】解：函数的定义域为，恒成立，排除，，当时，，当，，排除，故选：．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．5．A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．6．B【解析】根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.7．A【解析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.8．D【解析】

根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.【详解】，故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.9．D【解析】

由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果.【详解】由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，使得成立的的范围为，区间长度为2，故使得成立的概率为，又，，，令，则有，故的最小值为11，故选：D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.10．C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．11．B【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题，，那么是.故选：．【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12．D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数；A中，，，故为奇函数；B中，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；D中，且，，故为偶函数.故选：D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．A或D【解析】

分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，丙说：第2个盒子里面放的是是对的，丁说：第4个盒子里面放的是是对的，由此可知第4个盒子里面放的是；假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，乙说：第2个盒子里面放的是是对的，丁说：第3个盒子里面放的是是对的，由此可知第4个盒子里面放的是．故第4个盒子里面放的电影票为或．故答案为：或【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．14．【解析】

令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.【详解】令，则得，解得，所以展开式中含项为：，故答案为：【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.15．【解析】

由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.【详解】因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.16．64【解析】

由题意先求得的值，再令求出展开式中所有项的系数和.【详解】的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，，，由两式可组成方程组，解得或，令，求得展开式中所有的系数之和为.故答案为：64【点睛】本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）3；（2）；（3）见解析.【解析】

（1）依据下标的关系，有，，两式相加，即可求出；（2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。利用关系式，列出方程，可以解出首项和公比；（3）利用等差数列的定义，即可证出。【详解】（1）因为对任意，都有，所以，，两式相加，，解得；（2）设等比数列的首项为，公比为，因为对任意，都有，所以有，解得，又，即有，化简得，，即，或，因为，化简得，所以故。（3）因为对任意，都有，所以有，成等差数列，设公差为，，，，，由等差数列的定义知，也成等差数列。【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考查学生的逻辑推理，数学建模，综合运用数列知识的能力。18．（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差【解析】

（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.【详解】（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，所以，的分布列：②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，故，.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.19．（1）不需调整（2）列联表见解析；有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解析】

（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数目分别为15，1．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．用频率估计概率，则，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：选物理不选物理合计选化学19524不选化学61016合计251540则，有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．用频率估计概率，则，分布列如下：01230.3430.4410.1890.021数学期望为．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析【解析】

（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.【详解】（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，当n＝2时，，解得a2＝0或，而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；（2）当p＝2时，①，则②，②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，④﹣③