固体电子第五章n课件

第五章固体的能带理论本章主要内容：1、教学内容：

布里渊区、周期性势场、布洛赫定理和晶体的能带，导体、绝缘体和半导体。

2、基本要求：

掌握布洛赫（Bloch）定理；状态密度；近自由电子近似与费米分布；电子的运动和有效质量；导电机制和空穴电子的共有化晶体是大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。电子受到周期性势场的作用。a原子靠近，因相互作用使原子能级简并消除而产生能带金属晶体的势能曲线与电子云势垒能带的宽度记作E

，数量级为E～eV。

若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。一般规律：1.越是外层电子，能带越宽，E越大。2.点阵间距越小，能带越宽，E越大。3.两个能带有可能重叠。

ΔE1S2S能带禁带4、能带理论的近似处理方法固体物理学最核心的内容——能带理论。能带理论的三大近似：绝热近似：忽略原子实的运动，将多体问题简化为多电子问题。周期性势场近似：电子在原子实的平均势场中具有平移对称性。单电子近似：电子处于原子实周期势场，可将多电子问题简化为单电子问题。单电子近似是能带理论的基础

，可同时比较Hartree-Fock方程和密度泛函理论得到单电子近似的过程，引入电子密度简化多电子物理问题，而不是用某一个电子的物理量来研究。计算模型：每个电子在由正离子周期势场和其他（n-1）个电子所产生的平均势场中运动。即：多粒子系统

多电子系统

单电子系统

布洛赫定理1、布洛赫函数处于周期性势场中的电子的波函数为，该波函数称为布洛赫函数。2、布洛赫函数的特点一维布洛赫函数uk（x）也是周期性函数是平面波因子§6.2一维周期场中电子运动的近自由电子近似

1.模型和微扰计算

近自由电子近似模型（1）金属中电子受到原子实周期性势场的作用；（2）

假定势场的起伏较小零级近似

——用势场平均值代替原子实产生的势场周期性势场的起伏量作为微扰来处理1）零级近似下电子的能量和波函数

模型：一维N个原子组成的金属，金属的线度零级近似下薛定谔方程波函数和能量本征值根据量子力学的定态微扰理论：自由电子的哈密顿算符电子波矢在附近的能量和波函数

——简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成状态——是一个小量周期性势场中，对其有主要影响的状态——只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响——当波矢k接近布里渊边界时，即——k和k’能级相互作用的结果——原来能级较高的k’提高，原来能级较低的k下压或降低。——量子力学中，微扰作用使两个相互影响的能级，总是

原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了——能级间“排斥作用”两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-ii)当0时——>0,<0两种情形下完全对称的能级图——A和C、B和D代表同一状态——它们从>0,<0两个方向当0的共同极限当电子的和两种情形时——微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用在存在一个的态，和状态能量相近存在一个的态，和状态能量相同由于周期性势场的微扰，能量本征值在处断开能量的突变能量本征值在断开两个态的能量间隔——禁带宽度电子波矢取值——对于一个l，有一个量子态k能量本征值——当N很大时，Ek视为准连续——由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带能量本征值在处断开小结：2)禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处——布里渊边界3)禁带的宽度——取决于金属中势场的形式能带及一般性质

自由电子的能谱是抛物线型——晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界产生了宽度的禁带——发生能量跃变——在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近能带序号k的范围k的长度布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区——一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系——每个能带中包含的量子态数目波矢k的取值

—k的数目每个能带对应k的取值范围各个能带k的取值数目——原胞的数目——计入自旋，每个能带中包含2N个量子态

电子波矢和量子数与简约波矢的关系

——第一布里渊区近自由电子中电子的波矢在一维情形中——m为整数简约波矢的取值范围平移算符本征值量子数k（简约波矢，计为）和电子波矢k之间的关系——l为整数简约波矢第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢移到简约布里渊区——每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像——简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)

它属于哪一个能带（能带标号）2)

它的简约波矢是什么？电子波矢k和简约波矢的关系——周期性势场的起伏只使得不同能带相同简约波矢的状态之间的相互影响——对于一般的（远离布里渊边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰简约波矢

及其附近，存在两个能量相同或能量相近的态，需要用简并微扰理论来计算。结果表明：在和

不同能带之间出现带隙—禁带。

用简约波矢来表示零级波函数零级波函数将代入得到——与用简约波矢表示能带一样，必须指明波函数属于哪一个能带六、三维周期场中电子运动的近自由电子近似

1.模型和微扰计算

——电子受到原子实周期性势场的作用，势场的起伏较小,零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场周期性势场起伏量——微扰电子的波动方程晶格周期性势场函数势场的平均值

零级近似下电子的能量和波函数

——空格子中电子的能量和波函数零级哈密顿量薛定谔方程电子的波函数能量本征值金属——个原胞构成，体积——周期性边界条件满足正交归一化条件电子的波矢电子的零级本征波函数

微扰时电子的能量和波函数

——近自由电子近似模型微扰的情形微扰后电子的能量电子的波函数——三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并微扰不再适用2.布里渊区和能带

——在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域简单立方晶格k空间的二维示意图——每个区域内E~k是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区——属于同一个布里渊区的能级构成一个能带——每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积——每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）——三维晶格中，由于不同方向上能量断开的取值不同，使得不同的能带发生重叠。——不同的布里渊区对应不同的能带——第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k’方向上能量最高点C二维正方格子——C点的能量比第二布里渊区B点高问题：C点电子动能比A点电子动能大多少？——C点第一布里渊区和B点第二布里渊区能带的重叠3.晶格的布里渊区

1)简单立方格子

——第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体倒格子基矢正格子基矢——简单立方格子§6.4紧束缚方法（TightBindingMethod)

1.模型与微扰计算

紧束缚近似方法的物理思想（1）电子在一个原子(格点)附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子势场的作用看作是微扰（2）将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系

（即原子轨道线性组合法，LinearCombinationofAtomicOrbitals）问题：为什么晶体中的电子能谱会形成带状结构？——简单晶格原胞只有一个原子设：电子的束缚态波函数电子在格矢处原子附近运动——电子在第m个原子附近运动，其它原子的作用是微扰物理模型物理意义：该函数是位于Rm处的孤立原子在r处产生的波函数。孤立原子

电子的束缚态波函数——格点的原子在处的势场——电子第i个束缚态的波函数——电子第i个束缚态的能级(1)孤立原子中电子的波函数与本征方程

晶体中电子的波函数满足的薛定谔方程——晶体的周期性势场___所有原子的势场之和——对方程(2)进行变换——微扰作用(2)晶体中电子的波函数与本征方程微扰以后电子的运动状态

——晶体中有N个原子，有N个格点，环绕不同格点，有N

个类似的波函数，它们具有相同的能量本征值i——微扰以后晶体中电子的波函数用N个原子轨道简并波函数的线性组合构成——LCAO晶体中电子的波函数电子的薛定谔方程——当原子间距比原子半径大时，不同格点的重叠很小近似有——正交关系电子的波函数并考虑（1）式以左乘上面方程,积分得到:化简后得到——N种可能选取，方程是N个联立方程中的一个方程变量替换势场具有周期性注意：积分值只取决于相对位置引入函数——表示方程中的积分项上式是两个孤立原子中电子波函数相对微扰势的交叠积分。——周期性势场减去原子的势场，仍为负值——关于am为未知数的N个齐次线性方程组——am只由来决定方程的解——任意常数矢量对于确定的波函数晶体中电子的波函数能量本征值

晶体中电子的波函数具有布洛赫函数形式改写为——晶格周期性函数—简约波矢，取值限制在简约布里渊区周期性边界条件的取值有N个，每一个值对应波函数晶体中电子波函数原子束缚态波函数——两者存在么正变换——N个波函数表示为能量本征值——对于原子的一个束缚态能级，k有N个取值——原子结合成固体后，电子具有的能量形成一系列能带

简化处理

——表示相距为两个格点的波函数——当两个函数有一定重合时，积分不为零能量本征值——最完全的重叠其次考虑近邻格点的格矢能量本征值（6-106）3.能带的3种表示图式

1)扩展能区图式

第一能带第二能带2)简约能区图式

——对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性——每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像i)它属于哪一个能带ii)它的简约波矢是什么——简约布里渊区标志一个状态3)周期能区图式(或称重复区图式)

——对于同一个能带而言能量是波矢周期性函数——将任意一条能量曲线通过倒格子矢量从一个布里渊区移到其它布里渊区，在每一个布里渊区画出所有能带，构成k空间中能量分布的完整图像§6.6电子的准经典运动一．晶体中电子的平均速度

在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的Δr范围内，波矢取值在附近的Δk范围内的布洛赫电子态组成，ΔrΔk必须满足不确定关系。一般Δk必须小于第一布里渊区的线度，这样Δr必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度内，布洛赫电子可以看作经典粒子。在晶体中，用布洛赫波函数组成波包，以一维情况为例：其中

积分可得：相应的几率分布为：由此可知波包的中心位置在波包中心移动的速度为：

在三维情况下，波包的中心位置为：

波包运动的速度为：

二、布洛赫电子的准动量

布洛赫电子能量E(k)的改变，应该等于外力所作的功。

代入布洛赫电子速度的表达式得：在平行于布洛赫电子速度的方向上：

外力与速度垂直时，外力不作功，电子的能量不改变，电子在等能面上运动。由布洛赫电子准经典运动的速度公式和作用力公式三、电子的平均加速度和有效质量对一维情况有：定义有效质量为对于三维情况，有效质量为一二阶张量：

讨论：

1.Bloch电子在外场力作用下，运动规律形式上遵守牛顿定律，只是把m用有效质量m*代替；2．有效质量m*

此时，Bloch电子的加速度与外场力方向可以不一致。例如：设F外kx＝F外ky＝F外kz，但各不等,则不等。为张量，一般情况下*iim3．一维情况

为标量，但标量并不等于是常量，m*也与能带结构有关。4．仍以一维情况为例。设m为电子的惯性质量，FL为电子所受到的晶格场力；F外为电子所受到的晶体以外产生的场所施加的力。dv/dt＝1/m·F＝1/m（F外＋FL）与dv/dt＝1/m*F外比较，显然FL的影响包含m*中去了。比较可得

6.6导体、绝缘体和半导体固体导电是由于外电场作用下，电子定向运动的结果。从能带论看，电子能量的变化是电子从一个能级跃迁到另一能级上。1、满带：一个能带内的全部状态均被电子所填满。满带满带不导电满带不导电1、未加外电场满带中尽管每个电子都带一定电流，但状态k、-k的电子电流正好抵消。2、加外场时

K轴上的各k点以相同速度沿外场反方向运动，从第一布区一端移出，相当与从另一端进入。整个满带仍处于填满状态，所以不导电。A满带：无净电流，不导电XAAXXYYYEkkkZZZ0k1k2k3k4k5不满带2、不满带：未被电子填充满的能带。不满带导电

在有外场时，在外力F作用下，整个电子分布向一边移动，破坏对称性，电子电流部分抵消，产