内蒙古自治区赤峰市当铺地中学2022高三数学理测试题含解析

内蒙古自治区赤峰市当铺地中学2022高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的展开式中常数项为，则常数=

（

）（A）

（B）

（C）1

（D）;参考答案：C略2.已知函数则

(A)2013

(B)2014

(C)2015

(D)2016参考答案：C3.已知向量=（1，0），=（0，1），则下列向量中与向量2+垂直的是（）A．+ B．﹣ C．2﹣ D．﹣2参考答案：D【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据坐标运算求出2+和﹣2的坐标，计算即可．【解答】解：=（1，0），=（0，1），则2+=（2，1），而﹣2=（1，﹣2），故（2+）（﹣2）=0，故选：D．4.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．

B．

C．

D．

参考答案：C5.若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．6.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为（

）A．B．C．D．参考答案：D7.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性，单调性B4B3C和是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.8.函数的最小值为（

）A．1103×1104

B．1104×1105

C．2006×2007

D．2005×2006参考答案：A9.已知函数，且，则

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A．

B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系Sn＝2－3an，则an＝________.参考答案：12.在中，AC=2，BC=6，已知点O是内一点，且满足，则=

。参考答案：4013.设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为________.参考答案：.1画出约束条件的可行域，由可行域知目标函数过点（2,4）时，取最大值，且最大值为6，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值1.14.若点在函数的图像上，则的值为

。参考答案：15.已知球O是棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为

。

参考答案：略16.一个容量为的样本数据，分组后组距与频数如下表：组距频数

2

3

4

5

4

2则样本在区间

上的频率为__________________。参考答案：

解析：17.给出下列不等式：，，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k1和k2，是否存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值；若存在，求出P的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，求出存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值1；当直线MN不存在斜率时，若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．由此求出存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．x2=4y的准线方程为y=﹣1，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由，消去y，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴|MN|===，点O到直线y=kx+m的距离d=，==2，====，设=p，则4k2=（1﹣4p）m2+4p，于是，由S△MON为定值，得为定值，从而4p+1=0，解得p=﹣，此时，S△MON=1．当直线MN不存在斜率时，若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．综上，存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．19.某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．参考答案：(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，∴X的分布列为：

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，且，.

（I）求证：；（II）若，求二面角的余弦值。参考答案：(Ⅰ)证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，且，∴和为两个全等的等边三角形，则∴平面，又平面，∴；(Ⅱ).试题分析：（1）首先作出辅助线即取的中点，连接，然后由已知条件易得和为两个全等的等边三角形，于是有，进而由线面垂直的判定定理可知所证结论成立；(Ⅱ)建立适当的直角坐标系，并求出每个点的空间坐标，然后分别求出平面、平面的法向量，再运用公式即可求出二面角的平面角的余弦值，最后判断其大小为钝角还是锐角即可.试题解析：(Ⅰ)证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，且，∴和为两个全等的等边三角形，则∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)解：在中，由已知得，，，则，∴，即，又，∴平面；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)，C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，则＝(1,0,)，＝(－1,,0)，由题意可设平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，由已知得：令y＝1，则，z＝－1，∴；则，所以，由题意知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.考点：1、直线平面垂直的判定定理；2、空间向量法求空间二面角的大小；21.某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0．05m0．150．35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m、n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．参考答案：（1）解：由频率分布表得0．05+m+0．15+0．35+n=1

即m+n=0．45

由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得

所以m=0．45﹣0．1=0．35． （2）解：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1、x2、x3

等级为5的零件有2个，记作y1、y2

从x1、x2、x3、y1、y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）

共计10种

记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”

则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个

故所求概率为略22.（本小