2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2023年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：〔此题总分值42分，每题7分〕1．，，那么的值为〔〕A．1.B．.C．.D．.【答】B.由可得，即，即，即，所以．2．△的两条高线的长分别为5和20,假设第三条高线的长也是整数，那么第三条高线长的最大值为〔〕A．5.B．6.C．7.D．8.【答】B.设△的面积为S，所求的第三条高线的长为h，那么三边长分别为．显然，于是由三边关系，得解得．所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程的解的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【答】C.当时，方程为，即，解得，，均满足．当时，方程为，即，解得，满足．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页〔共8页〕综上，原方程有3个解．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页〔共8页〕.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出假设干条线段组成“线段组〞，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，那么这样的“线段组〞的组数有〔〕A．5组.B．7组.C．9组.D．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，那么每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为，所以正方形的边长不大于．由于；；；；．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组〞的组数为1×4＋5＝9．5．如图，菱形ABCD中，，，，，，那么〔〕A．.B．.C．.D．.【答】D.过F作AB的垂线，垂足为H．∵，，∴，，，又∵，∴，从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝，∴．6．，，，那么的值为〔〕A．1.B．.C．2.D．.【答】C.由等式得，，，所以．于是，，，．所以，，，即。代入，得，解得．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页〔共8页〕所以．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页〔共8页〕二、填空题：〔此题总分值28分，每题7分〕1．在△ABC中，，，那么．【答】。延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，那么，所以CA＝CD。作于点E，那么E为AD的中点，故，.在Rt△BCE中，，所以，故．2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，假设△ABD和△OBC均为等腰直角三角形〔O为坐标原点〕，那么．【答】2．由，得，，，．过D作于点E，，那么，即，得，所以或．又，所以．又，即，得．3．能使是完全平方数的正整数n的值为．【答】11.当时，，假设它是完全平方数，那么n必为偶数．假设，那么；假设，那么；假设，那么；假设，那么。所以，当时，都不是完全平方数．当时，，假设它是完全平方数，那么为一奇数的平方。设〔k为自然数〕，那么．由于和一奇一偶，所以，于是，故．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页〔共8页〕4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，那么AB＝．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页〔共8页〕【答】24.设，那么．连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以．又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴，∴，∴，∴．在Rt△AEF中，由勾股定理得，即．设，由相交弦定理得，即，∴=1\*GB3①又∵，∴．又，∴，从而．在Rt△ACB中，由勾股定理得，即，∴．②联立①②，解得．所以．第二试〔A〕一、〔此题总分值20分〕三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，那么两式相减，可解得．……5分设是方程③和方程④的一个相同的实根，那么两式相减，可解得。2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页〔共8页〕所以．……10分2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页〔共8页〕又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，那么。又，两式相减，得．……15分假设，那么方程①无实根，所以，故．于是．又，解得．……20分二．〔此题总分值25分〕如图，在四边形ABCD中，，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：〔1〕；〔2〕．证明〔1〕由得，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．……5分作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．……10分〔2〕作于点，那么．又，∴，……15分∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，故，所以．……25分三．〔此题总分值25分〕为正整数，．设，，，O为坐标原点．假设，且．〔1〕证明：；〔2〕求图象经过三点的二次函数的解析式．解〔1〕因为，，所以，即．由，得．…5分又2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页〔共8页〕，2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页〔共8页〕从而有，即．……10分〔2〕由，知是关于x的一元二次方程=1\*GB3①的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或．………15分当时，方程=1\*GB3①为，没有整数解．当时，方程=1\*GB3①为，两根为．综合知：．………20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得，解得．所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．………25分第二试〔B〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔A〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕如图，在四边形ABCD中，，，，对角线交于点，且．求证：．证明由得，从而四点共圆，为直径．设为AC的中点，那么为四边形ABCD的外接圆的圆心．………5分作于点，那么M为BD的中点,所以＝＝，从而．………10分作于点，那么．又，∴，………15分∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，所以，所以．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页〔共8页〕………25分2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页〔共8页〕三．〔此题总分值25分〕为正整数，．设，，，O为坐标原点．假设，且＋＋＝＋＋〕．求图象经过三点的二次函数的解析式．解因为，，所以，即．由，得．…5分又，从而有，即．………10分又，故是关于x的一元二次方程=1\*GB3①的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或．………15分当时，方程=1\*GB3①为，没有整数解．当时，方程=1\*GB3①为，两根为．综合知：．………20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得，解得．所以，图象经过三点的二次函数的解析式为．………25分第二试〔C〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔A〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕如图，为锐角△内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页〔共8页〕证明如图1，作于点，于点，于点，于点．2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页〔共8页〕设，∵，∴．………5分假设，如图2，作，分别交于点，那么△∽△，∴，