D王任意项级数

会计学1D王任意项级数21.正项级数的定义:2.正项级数的审敛法(2)比较审敛法(不等式形式)复习(3)比较审敛法（极限形式）(4)比值审敛法(达朗贝尔判别法)(5)根值审敛法(柯西判别法)大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散.第1页/共42页3

几何级数调和级数是发散级数.P-级数3.重要级数：第2页/共42页44.判别正项级数敛散性的方法与步骤：发散比值审敛法根值审敛法收敛发散不确定比较审敛法用其它法判别性质法定义法或不易求第3页/共42页5一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛

第三节任意项级数

第九章第4页/共42页6一、交错级数及其审敛法1.定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.或例为交错级数不是交错级数不全大于0不是交错级数两级数敛散性相同吗？第5页/共42页7一、交错级数及其审敛法2.交错级数审敛法(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件：定理7(i)(ii)则原级数收敛，且其和其余项满足可以吗？(i)可以为注：第6页/共42页8证明：满足收敛的两个条件,定理证毕.数列是单调增加的，又数列是有界的，所以级数收敛于和s，且余项定理7(i)(ii)其余项满足第7页/共42页9解:(1)且满足由莱布尼兹判别法知级数收敛.例1.判别下列级数的敛散性.第8页/共42页10例1.判别下列级数的敛散性.解:(2)是交错级数，且满足由莱布尼兹判别法知级数收敛.第9页/共42页11收敛收敛都收敛发散第10页/共42页12解:(3)且满足由莱布尼兹判别法知级数收敛.设例1.判别下列级数的敛散性.第11页/共42页13例2.解:不存在该级数是交错级数，第12页/共42页14例3.解:该级数是交错级数，第13页/共42页15注意：(1)莱布尼茨审敛法只适用于交错级数.如：正项级数虽满足莱布尼茨审敛法的条件，但不收敛.(2)莱布尼茨审敛法只能判别交错级数的收敛，而不能判别交错级数的发散.(3)满足莱布尼茨审敛法的条件的级数，叫莱布尼茨型级数.第14页/共42页16(4)验证交错级数的条件的方法利用单调性:利用的单调性(5)收敛的交错级数各项加绝对值后的级数是否收敛？加绝对值后的级数是：有的仍收敛，有的是发散的.第15页/共42页17二、绝对收敛与条件收敛称为的绝对值级数2.定义:的各项取绝对值后构成的级数1.定义:级数的一般项为任意实数的级数.正项级数的审敛法可判定绝对值级数的敛散性任意项级数的敛散性和它的绝对值级数敛散性之间有什么关系？称为任意项级数.第16页/共42页183.级数的绝对收敛与级数收敛的关系定理8

若收敛收敛.证明:由比较判别法知：令显然且收敛，由知：又所以收敛.第17页/共42页19定义:若收敛,则称为绝对收敛;若发散,而收敛,则称为条件收敛.收敛.为绝对收敛.发散收敛而绝对值级数绝对收敛收敛第18页/共42页20正项级数收敛发散任意项级数收敛发散收敛发散,收敛第19页/共42页212.反之不成立.1.该定理的作用：任意项级数正项级数说明：3.逆否命题成立.发散发散逆命题一般不成立.第20页/共42页22发散收敛而如：第21页/共42页23定理该定理的证明省略对于任意项级数若绝对收敛；当时，收敛)发散)(由得故发散)可能收敛，当时，也可能发散.当)时，(或第22页/共42页24例4.证明下列级数绝对收敛.证:(1)而收敛,收敛因此原级数绝对收敛.因此收敛,绝对收敛.证:(2)第23页/共42页25例5.判别下列级数的敛散性,是绝对收敛还是条件收敛？解(1)所以原级数发散.解(2)1）先考察的敛散性第24页/共42页26又由于原级数收敛，是条件收敛.第25页/共42页27例6解第26页/共42页28第27页/共42页29第28页/共42页30本节小结一、交错级数及其审敛法1.定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.2.交错级数审敛法(莱布尼茨定理)1.

若收敛收敛（即为绝对收敛）2.发散（比值法或根值法）发散(i)(ii)原级数收敛.二、任意项级数的概念及绝对收敛与条件收敛的判定其他判别法没有此结论第29页/共42页31作业：P381,1,2，4,5P381,3解：设收敛，讨论的敛散性课本题错都收敛收敛，故原级数绝对收敛不绝对收敛第30页/共42页32常数项级数小结一、常数项级数的概念1.常数项级数的概念；2.常数项级数收敛与发散的概念；3.正项级数、交错级数、任意项级数的概念；4.绝对收敛与条件收敛的概念；二、常数项级数的性质（4个）三、收敛级数的必要条件若级数收敛注：不能用判断级数收敛.第31页/共42页33四、应熟记的几个重要级数：

几何级数调和级数是发散级数.P-级数第32页/共42页34五、常数项级数的审敛法：1.任意项级数的审敛法(3)性质法.(4)利用重要级数.(2)发散.(1)定义法：(5)(6)发散（比值法或根值法）发散第33页/共42页352.正项级数的审敛法（2）比值法（1）比较法（3）根值法设和均为正项级数.(常数k>0)；大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散.1)当2)当时,收敛;或时,发散.3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法)(i)(ii)第34页/共42页361.[03数三，4分]设则下列命题正确的是条件收敛，则与绝对收敛，则条件收敛，则敛散性都不定.绝对收敛，则(A)若(B)若(C)若(D)若都收敛.与都收敛.与敛散性都不定.与几个考研真题：P402,2(1)第35页/共42页37(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).2.[04数三、4分]

设有下列命题：收敛，则收敛. 收敛，则(2)若，则发散. 收敛，则(3)若(4)若都收敛.(1)若收敛. 则以上命题中正确的是(B)[本院考题]是收敛的正项级数，证明也收敛.第36页/共42页383.[06数一,数三,4分]

若级数收敛，则级数收敛.

收敛.收敛.

收敛.(A)（B）(C)(D)[Ｄ]4.若