云南省大理市洱源县第一中学2021年高三数学理模拟试题含解析

云南省大理市洱源县第一中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则的值为A．3 B．5 C． D．参考答案：D2.已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=(

) A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16参考答案：C考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答： 解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．3.已知全集集合,则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ ）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以，所以z的虚部是，选D.

已知函数5.，则a的取值等于（

）A．-1

B．1

C．2

D．4参考答案：B6.设,，若，则实数a的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A7.已知实数满足约束条件，则的最大值等于A.9 B.12 C.27 D.36

参考答案：B本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的可行域如图，由图可知，目标函数在点A处取到最大值，解得故选B。

8.（5分）已知集合A={x|x2≥1}，B={x|y=}，则A∩?RB=（

）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．[﹣1，0]∪[2，+∞）参考答案：B【考点】：交、并、补集的混合运算．集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．解：由A中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），由B中y=，得到1﹣log2x≥0，即log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，∴CRB=（﹣∞，0]∪（2，+∞），则A∩CRB=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），故选：B．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．9.已知三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a参考答案：A10.已知，，函数，下列四个命题：①是周期函数，其最小正周期为；②当时，有最小值；③是函数的一个单调递增区间；④点是函数的一个对称中心.正确命题的个数是

（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：D②③④试题分析：函数的周期为，①为错误的；当时，取得最小值，此时，即，当时，，②为正确的；令，解得，函数的增区间为，当时，函数的增区间为，③为正确的；令，解得，函数的对称中心为，当时，得点是函数的一个对称中心，④为正确的；综上所述，②③④是正确的命题.故答案为②③④.考点：命题的真假；三角函数的性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是____________．参考答案：[4，+∞）或（-∞，0]略12.记等差数列{an}的前n项和Sn，利用倒序求和的方法得：Sn=；类似的，记等比数列{bn}的前n项的积为Tn，且bn＞0（n∈N+），试类比等差数列求和的方法，可将Tn表示成首项b1，末项bn与项数n的一个关系式，即公式Tn=．参考答案：

【考点】进行简单的合情推理；等比数列；等比数列的前n项和；类比推理．【分析】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．【解答】解：在等差数列{an}的前n项和为Sn=，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn=（b1bn）故答案为：．13.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e=，故答案为：．14._____________.参考答案：略15.设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=

．参考答案：-2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，得到切线斜率，根据直线垂直关系即可得到解得结论．【解答】解：函数的导数f′（x）=，则曲线y=在点（3，2）处的切线斜率k=f′（3）==，∵直线ax+y+3=0的斜截式方程为y=﹣ax﹣3，斜率为﹣a，∴若切线与直线ax+y+3=0垂直，则﹣a×，则a=﹣2，故答案为：﹣216.以抛物线y2＝4x上的点A(4.，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x轴截得的弦长为＿＿＿＿参考答案：617.已知上所有实根和为

参考答案：10

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知无穷数列的首项，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.参考答案：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；②假设当时不等式成立，即，那么当时，，所以，即时不等式也成立.综合①②可知，对任意成立.--------------------------------5分（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。------------7分又，易知为递减数列，所以也为递减数列，所以当时，-------------------10分所以当时，------12分当时，，成立；当时，综上，对任意正整数，-----------------------------------------------------------------15分19.已知函数.（1）当时，讨论导函数的零点个数；（2）当时，证明：.参考答案：(1)见解析；(2)见证明【分析】（1）对求导，利用导数判断函数的单调性，由，判断的正负，利用零点存在定理可得结果.（3）利用（1）设的极小值点为，得，且，只需判断.将变形，，利用基本不等式可证.【详解】解：（1）函数的定义域为，因为，所以，所以在上为增函数，又因为，所以，，所以在上存在唯一的零点．(2)由（1）可知：在上存在唯一的零点，设该零点为，则，当时，，当时，，所以在处取得最小值，由得，所以，，所以，由得，所以，而，当时，取“=”，而，所以，所以，即．【点睛】本题考查函数导数的应用，利用导数研究函数的单调性，极值，结合零点存在定理研究复杂函数的零点，考查不等式恒成立问题，考查等价变形能力、运算能力，属于难题.20.近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积（单位：平方公里）的数据如下表：

年份2012201320142015201620172018年份代号t1234567绿化面积y2.93.33.64.44.85.25.9

（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积，并计算2017年年初至2022年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少．（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为）参考答案：（1），，

………………4分线性回归方程为

………………6分（2）将2022年年号11代入，预测绿化面积为7.8平方公里

………………9分设年平均增长率为x，则，，年平均增长率约为8.4%.

………………12分21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y=0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．【点评】本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．22.高三一班、二班各有6名学生参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示.（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求