函数的极值与最大（小）值（第一课时）2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章

一元函数的导数及其应用

5.3.2

函数的极值与最大（小）值（第一课时）

学习目标1.巩固“利用导数研究函数的单调性”．2.利用导数求函数的极值．

一

新课引入我们知道：在某个区间(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减

问题：如果函数在某点两侧的导数符号相反，那么这点的函数值有什么特点？

二

讲授

新课

我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.

观察可知点(a,h(a)）的两侧的导函数符号左正右负，函数图像左增右减，h(a)是局部极大值

Otabhh′（a）=0h′（t）>0h′（t）<0h(t)单调递增

h(t)单调递减如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？函数f(x)在x=a处的导函数左负右正，函数图像在x=a处左减右增，x=a的函数值比它附近的函数值都小；函数f(x)在x=b处导函数左正右负，函数图像在x=b处左增右减，x=b处的函数值比它附近的函数值都大；同理可以说明x=c、x=d、x=e处的函数值的特点。小结：1.我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。2.极值点的两侧的导数符号相反.极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．如图所示：

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

例1x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?

解：函数f(x)=x3，f′(x)=3x2

当x=0时，f′(0)=0

当x≠0时，f′(x)>0

又因为函数f(x)=x3是增函数

所以0不是函数f(x)=x3的极值点.

注

：若f′(x0)=0

，则x0不一定为极值点

xyOy＝x3.跟踪练习：函数y=f′(x)的图象如图所示,试找出函数f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？

分析：

x2,x4是函数f(x)的极值点,其导数为0.

其中x2左侧导数为正，右侧导数为负，x2是极大值点；x4左侧导数为负右侧导数为正，x4是极小值点.

x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增单调递减单调递增-2Oxy2小结

一般地，可按如下方法求函数y=f(x)的极值：解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.＋－x0－＋x0三

课堂练习求下列函数的极值：(1)

f(x)=x3－27x;

(2)

f(x)=6+12x－x3.分析(1)函数f(x)的定义域为R,且f′(x)=3x2－27，令f′(x)=0,得x=±3.当

x

变化时，f′(x)与

f(x)的变化情况如下表：x(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增54单调递减－54单调递增

所以,f(x)在x=－3时取得极大值,且极大值为f(－3)=54;f(x)在x=3时取得极小值,且极小值为f(3)=－54.(2)同理可得，f(x)在x=－2时取得极小值,且