2023年湖南省永州市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖南省永州市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.

3.

A.1B.0C.-1D.-2

4.

5.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面

6.

7.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

8.

9.A.A.1/3B.3/4C.4/3D.3

10.

11.

12.已知

则

=()。

A.

B.

C.

D.

13.设f(x)在x=0处有二阶连续导数

则x=0是f(x)的()。

A.间断点B.极大值点C.极小值点D.拐点14.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

15.

16.

17.若f(x)有连续导数，下列等式中一定成立的是

A.d∫f(x)dx=f(x)dx

B.d∫f(x)dx=f(x)

C.d∫f(x)dx=f(x)+C

D.∫df(x)=f(x)

18.则f(x)间断点是x=（）。A.2B.1C.0D.-119.A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

20.

21.函数y=ex+e-x的单调增加区间是

A.(-∞，+∞)B.(-∞，0]C.(-1，1)D.[0，+∞)

22.

23.下列命题中正确的有（）A.A.

B.

C.

D.

24.

25.级数()。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

26.

27.

28.

29.

30.f(x)在x=0有二阶连续导数，则f(x)在x=0处()。A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.以上都不对

31.

32.A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件33.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

34.滑轮半径r=0．2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，如图所示。已知滑轮绕轴0的转动规律φ=0．15t3rad，其中t单位为s，当t=2s时，轮缘上M点的速度、加速度和物体A的速度、加速度计算不正确的是()。

A.M点的速度为vM=0．36m／s

B.M点的加速度为aM=0．648m／s2

C.物体A的速度为vA=0．36m／s

D.物体A的加速度为aA=0．36m／s2

35.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关36.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

37.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx38.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少

39.

40.微分方程y''-2y'=x的特解应设为A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+C

41.

42.微分方程y"-4y=0的特征根为A.A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

43.

A.1

B.2

C.x2+y2

D.TL

44.

45.

46.

47.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定48.设y=3+sinx，则y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx49.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)50.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C二、填空题(20题)51.

52.53.54.微分方程xy'=1的通解是_________。

55.

56.

57.58.

59.

60.设z=x3y2，则=________。61.

62.63.64.65.微分方程y＋9y＝0的通解为________．

66.

67.设区域D：0≤x≤1，1≤y≤2，则

68.设z=xy，则dz=______.

69.

70.级数的收敛区间为______．三、计算题(20题)71.

72.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则73.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．74.

75.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

76.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．77.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．78.证明：79.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．80.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．81.

82.求微分方程的通解．

83.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

84.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

85.求曲线在点(1，3)处的切线方程．86.

87.

88.89.

90.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．四、解答题(10题)91.

92.93.设

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

五、高等数学(0题)101.求极限

六、解答题(0题)102.(本题满分8分)

参考答案

1.A

2.C

3.A

本题考查的知识点为导数公式．

可知应选A．

4.D解析：

5.A

6.C

7.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

8.B

9.B

10.A

11.B

12.A

13.C则x=0是f(x)的极小值点。

14.A

15.C

16.A

17.A解析：若设F'(x)=f(x)，由不定积分定义知，∫f(x)dx=F(x)+C。从而

有：d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx，故A正确。D中应为∫df(x)=f(x)+C。

18.Df(x)为分式，当X=-l时，分母x+1=0，分式没有意义，因此点x=-1为f(x)的间断点，故选D。

19.B本题考查了已知积分函数求原函数的知识点

20.C解析：

21.Dy=ex+e-x，则y'=ex-e-x，当x＞0时，y'＞0，所以y在区间[0，+∞)上单调递增.

22.D解析：

23.B

24.D

25.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛。

由于的p级数，可知为收敛级数。

可知收敛，所给级数绝对收敛，故应选A。

26.A解析：

27.A解析：

28.B

29.C

30.B；又∵分母x→0∴x=0是驻点；；即f""(0)=一1<0，∴f(x)在x=0处取极大值

31.B

32.B

33.D本题考查的知识点为原函数的概念、复合函数求导．

34.B

35.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

36.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

37.B

38.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

39.B

40.C因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0，r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

41.D

42.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B。

43.A

44.B

45.C

46.A解析：

47.C

48.B

49.D本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．

由于相应齐次方程为y"+3y'0，

其特征方程为r2+3r=0，

特征根为r1=0，r2=-3，

自由项f(x)=x2，相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根，因此应设

故应选D．

50.C

51.

52.9053.k=1/254.y=lnx+C

55.

解析：

56.

57.

58.

59.

60.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。

61.31/16;2本题考查了函数的最大、最小值的知识点.

f'(x)=3ax2-12ax,f'(x)=0,则x=0或x=4,而x=4不在[-1,2]中,故舍去.f''(x)=6ax-12a,f''(0)=-12a,因为a＞0,所以f"(0)＜0,所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a,f(0)=b,f(2)=8a-24a+b=b-16a,因为a＞0,故当x=0时,f(x)最大,即b=2;当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29,即16a=2+29=31,故a=31/16.

62.

63.＜0本题考查了反常积分的敛散性(比较判别法)的知识点。

64.

65.

本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

66.

67.本题考查的知识点为二重积分的计算。

如果利用二重积分的几何意义，可知的值等于区域D的面积．由于D是长、宽都为1的正形，可知其面积为1。因此

68.yxy-1dx+xylnxdy

69.1/x70.(-∞，+∞)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

71.72.由等价无穷小量的定义可知

73.

74.

75.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

76.由二重积分物理意义知

77.

78.

79.

列表：

说明

80.

81.

则

82.

83.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

84.

85.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

86.

87.

88.

89.由一阶线性微分方程通解公式有

9