天津第五中学2021年高三数学文模拟试题含解析

天津第五中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），给出以下四个命题：2

?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；②?x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有；③?x1，x2∈（0，1），有；④?x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．其中所有真命题的序号是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①利用函数奇偶性的定义可判断出?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），可判断①正确；②x∈（﹣1，1），由，可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，可判断②正确；③利用f′（x）=在（0，1）单调递增可判断③正确；④构造函数g（x）=f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，?g（x）在（0，1）单调递增，再利用g（x）=f（x）﹣2x为奇函数，可判断④正确．【解答】解：对于①，∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），且其定义域为（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣=﹣f（x），即①?x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），故①是真命题；对于②，∵x∈（﹣1，1），由，可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，即?x1，x2∈（﹣1，1）且x1≠x2，有，故②是真命题；对于③，∵f′（x）=在（0，1）单调递增，∴?x1，x2∈（0，1），有，故③是真命题；对于④，设g（x）=f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，所以g（x）在（0，1）单调递增，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函数性质可知，?x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|，故④是真命题．故选：D．2.定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，有（

）A．

B．C．

D．参考答案：A3.若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B． C．1 D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，∴kmax=1，故选：C4.已知向量，且，则实数t=．参考答案：﹣2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，然后根据便可得出，进而得出关于t的方程，解出t即可．【解答】解：；∵；∴；即t+4+2（2t+3）=0；解得t=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量坐标的加法、数乘及数量积运算，以及向量垂直的充要条件．5.(12)已知平面α截一球面得圆，过圆心且与α成二面角的平面β截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为

(A)7

(B)9

(C)11

(D)13参考答案：A6.若集合中元素的个数为（） A．3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个参考答案：考点： 集合中元素个数的最值．专题： 计算题；集合．分析： 先求出集合A，由集合B的定义求出元素即可．解答： 解：∵集合，∴A={1，2，3，4，5，6}B={1，2，4}；故选：A．点评： 本题考查了集合的化简与集合中元素的求法，属于基础题．7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；接下来判断三个命题的真假②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是3个，故选：B．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．8.函数的部分图像可能是（

）参考答案：A9.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A．2 B． 4 C． 2 D． 4参考答案：D略10.已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=（） A． B． C．2 D．4参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据向量的坐标运算先求出，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求||． 【解答】解∵，， ∴2=（3，x），由?3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=， ∴或，∴||=，或||=． 故选C． 【点评】本题考查了运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，若，，则?x1x2+y1y2=0． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是

.参考答案：12.设变量x、y满足约束条件：则z＝x2＋y2的最大值是__

__．参考答案：8作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC），而z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA＝2，故答案为：8.13.若存在实数满足，则实数的取值范围是________.参考答案：14.已知函数f（x）=asinx﹣（a∈R），若函数f（x）在（0，π）的零点个数为2个，则当x∈[0，]，f（x）的最大值为．参考答案：a﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】讨论a＞0时，函数y=f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点，在区间（，π）上有且只有一个零点；求出f（x）在x∈[0，]上的最大值；a≤0时，函数f（x）在x∈（0，π）上无零点，从而求出f（x）的最大值．【解答】解：因为函数f（x）=asinx﹣（a∈R），且x∈（0，π）时，sinx∈（0，1]；所以当a＞0时，asinx∈（0，a]，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，函数f（x）在（0，）上有且只有一个零点；y=f（x）在区间（，π）上单调递减，函数f（x）在（，π）上有且只有一个零点；所以a﹣＞0，解得a＞；所以f（x）在x∈[0，]上的最大值是f（）=a﹣；a≤0时，f（x）=asinx﹣＜0在x∈（0，π）上恒成立，函数f（x）无零点，不合题意；综上，f（x）在x∈[0，]上的最大值是a﹣．故答案为：a﹣．15.定义在上的偶函数满足：

①对都有；

②当且时，都有．

则：若方程在区间上恰有3个不同实根，实数的取值范围是

．参考答案：16.设变量满足约束条件，则的最大值是_______________.参考答案：5略17.在△ABC中a,b,c分别是内角A,B,C的对边,D是AB上的三等分点(靠近点A),且,,则的最大值是_____________.参考答案：由及正弦定理得,整理得,所以.因为,所以,因为点是边上靠近点的三等分点,所以,两边同时平方得,整理得,即,当且仅当时取等号,解得,所以的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.不等式选讲

已知，．（I）求证：，；（II）若，求证：．参考答案：（1）

………5分（2）

…………10分

略19.（本小题满分14分）已知四棱柱的底面ABCD是边长为2的菱形，，∠BAD＝∠＝60°，点M是棱的中点。（Ⅰ）求证：∥平面BMD；

（Ⅱ）求点到平面的距离参考答案：连结

………4分（Ⅱ）设过作平面于，于是………8分又因为平面平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离

………10分………14分20.（本题满分12分）已知数列{}的前n项和为，满足．(1)求数列{}的通项公式；(2)若数列{}满足，求数列{}的前n项和．参考答案：21.(本小题满分12分)

某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩，这40名学生的成绩全部在40分至l00分之间，据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图。

(I)求成绩在[80，90)的学生人数；

(Ⅱ)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有l名学生成绩在

[90，100]的概率。参考答案：.解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为，

…………2分所以，40名学生中成绩在区间的学生人数为（人）.……4分（Ⅱ）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一

名学生成绩在区间内”，由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为，成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为.…………6分

则选取学生