人教版八年级下册数学第16章二次根式课件

16.1二次根式第一课时第二课时人教版数学八年级下册二次根式有意义的条件和非负性第一课时返回

电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系

，其中地球半径R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是.公式中中的表示什么意义？式子表示什么？导入新知1.理解二次根式的概念.

2.

掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.素养目标3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.（1）面积为3

的正方形的边长为_______，面积为S

的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t为_____．探究新知知识点1二次根式的定义和有意义的条件用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点（1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，的算术平方根．①根指数都为2;②被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征？探究新知在前面的问题中，得到的结果分别是：，，，．

根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？

我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.

探究新知

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a≥0注意：a可以是数，也可以是式.探究新知归纳总结例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：探究新知素养考点1利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）（5）（6）

；（7）1.下列各式是二次根式吗?是是是是是巩固练习（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）不是不是不是不是不是例2

当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.探究新知素养考点2利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围（1）解：∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.探究新知（2）【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为任何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.探究新知归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.（1）（2）(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(3)多个二次根式相加如有意义的条件：(2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.探究新知

归纳总结二次根式有意义的条件应用的不同类型：

2.

x取何值时,下列二次根式有意义?巩固练习（1）（2）x≥1x≤0（3）（4）x为全体实数x>0（5）（6）x≥0x≠0x≥-1且x≠2(7)（9）x>0x为全体实数(8)【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？探究新知知识点2二次根式的双重非负性【回顾思考】二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？因为x²≥0，所以x可以为任意实数.要使x³≥0，必须x≥0.

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，当a≥0时，

.呢？

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

探究新知二次根式的双重非负性二次根式的被开方数非负二次根式的值非负

归纳总结解：

由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.探究新知素养考点1利用二次根式的双重非负性求字母的值例3

若，求2a-b+3c的值.提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.3.已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.巩固练习探究新知素养考点2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例4已知实数x、y满足等式，求x2-2xy+y2的值.解：由题意得解得：x=3把x=3,代入得y=-5所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64总结：若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.4.

已知y

=

,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=3×3＋2×8=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．巩固练习巩固练习连接中考C1.（2018•扬州）使有意义的x的取值范围是（）A．x＞3

B．x＜3

C．x≥3

D．x≠3A2.（2019•黄石）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1连接中考巩固练习3.（2018•苏州）若

在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．

B． C．

D．DAD-13.当x=____时，二次根式

取最小值，其最小值为______．0课堂检测基础巩固题1.下面的式子是二次根式的是()A.B.

C.

D.

a2.（2018•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2

4.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

课堂检测基础巩固题5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，(2)无论x取任何实数，代数式

都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.课堂检测基础巩固题∴m＞2．∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足

，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．能力提升题课堂检测

先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0由乘法法则得解得x≥1或x≤0即当x≥1或x≤0时，有意义.课堂检测拓广探索题体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则

解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜

时，有意义．课堂检测拓广探索题二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且

≥0课堂小结

二次根式化简第二课时返回【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？算术平方根之门平方之门0

-4

-1

a

a≥01

导入新知我们都是非负数哟！【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门平方之门

0

-4

-1

1

16

4

1

a

a为任意数【想一想】

你发现了什么？导入新知我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.素养目标1.经历探索性质

=a（a≥0）和=a（a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.a的平方根是用

(a≥0)表示.知识点1

（a≥0)

性质探究新知（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定(

)²（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.40探究新知2是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有(

)²

=4.

同理，分别是的算术平方根.因此,

,(

)²=2(

)²=(

)²=0探究新知

的性质：一般地，＝a(a

≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.探究新知归纳：例1

计算：解：积的乘方：（ab）2=a2b2探究新知素养考点1利用的性质进行计算（1）（2）（1）（2）(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？解:巩固练习

1.计算：

（1）（2）（1）（2）解：

探究新知素养考点2利用的性质分解因式总结：本题逆用了在实数范围内分解因式.例2

在实数范围内分解因式：（1）4x2-5

(2)m4-6m2+9（1）（2）巩固练习2.

在实数范围内分解因式：（1）x2-11

(2)x4-14x2+49解：（1）x2-11

=(x+)(x-

)

(2)

x4-14x2+49

=(x2-7)2

=(x-

)2(x+

)220.10化简下列根式，想一想知识点2的性质探究新知化简后，你能确定的化简结果吗？...平方运算算术平方根20.1

0...a(a≥0)2

...观察两者有什么关系？

填一填：

＝a(a≥0).探究新知...平方运算算术平方根-2-0.1

...2

...观察两者有什么关系？

a(a＜0)【猜一猜】当a＜0时，=？-a探究新知a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.探究新知归纳：

的性质：解：探究新知素养考点1利用的性质进行计算

警示：

而3.14＜π，要注意a的正负性.例3

化简：（1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)【讨论】（1）在

中，可否去掉“a≥0”？如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？

（2）第二小题中的能否直接使用性质

进行化简？

探究新知探究新知方法点拨

计算一般有两个步骤:①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即;②去掉绝对值符号,即3.请同学们快速分辨下列各题的对错．（）××√√巩固练习（）（）（）37481巩固练习

4.化简：（1）=

;

（2）=

;

（3）=

;

（4）=

;（5）=______

;

（6）=_______

.0.610-3【议一议】如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根探究新知解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例4

实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:ab探究新知素养考点2几何图形与的性质相结合的题目-1012a5.

实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是

.1巩固练习6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简的结果是()

A.-2a+b

B.2a-b

C.-b

D.bAab0（1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．

（a≥0）

回顾我们学过的式子，如，这些式子有哪些共同

特征？

知识点3代数式的定义探究新知

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把

或

连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.数表示数的字母

【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式探究新知归纳：探究新知素养考点1利用代数式的定义判断代数式例5下列式子:(1)x;(2)a-b;(3);(4);(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有(

)A.4个B.5个C.6个 D.7个B7.下列式子是代数式的有(

)①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;

⑦10x+5y=15;

⑧A.3个B.4个C.5个D.6个C巩固练习

解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是km/h，逆水行驶的速度是km/h．例5（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.

（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为探究新知素养考点2列代数式探究新知

归纳总结列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.巩固练习1.（2019•黄冈）计算

的结果是____．巩固练习连接中考42.（2018•无锡）下列等式正确的是（）A．

B． C．

D．A1.（2018•临安区）化简

的结果是（）A．﹣2

B．±2

C．2

D．4C2.

当1<x<3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-1D课堂检测基础巩固题3.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7

B.3＞2

C.

D．B

4.计算：

解:课堂检测（1）（2）（3）

（4）（1）（2）（3）（4）基础巩固题5.在实数范围内分解因式：解：

课堂检测（1）x2-3(2)y4-4y2+4（1）x2-3=(2)y4-4y2+4=(y2-2)2==基础巩固题

实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．能力提升题课堂检测ab0

已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞0两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0课堂检测拓广探索题二次根式性质

(a

≥0).拓展性质课堂小结

（a为全体实数）课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习16.2二次根式的乘除第一课时第二课时人教版数学八年级下册

二次根式的乘法第一课时返回导入新知苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为

cm，宽为cm，则它的面积是多少呢？如何计算？1.掌握二次根式乘法法则.

2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.素养目标(1)

=___×___=____;=_________;计算下列各式:23645205630观察两者有什么关系？

探究新知知识点1二次根式的乘法(2)

=___×___=____;(3)

=___×___=____;=_________;=_________.观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)

(2)

(3)

你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测：

探究新知不成立！探究新知【思考】成立吗？

没有意义！因此被开方数a，b需要满足什么条件？a，b是非负数，即a≥0,b≥0语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式的乘法法则是:二次根式相乘，________不变，________相乘.根指数被开方数注意：a,b都必须是非负数.

在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．探究新知例1

计算:解:探究新知素养考点1简单的二次根式的乘法运算（1）（2）(1)(2)【想一想】下边的式子如何运算？解:探究新知总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（）可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则A.B.C.D.1.计算

的结果是(

)

A.B.4C.

D.2C2.下面计算结果正确的是(

)

B3.计算：____.

20巩固练习【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？试回顾如何计算4a2·5a4=

.20a6探究新知例2

计算:解:探究新知素养考点2因数不是1二次根式的乘法运算总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即（1）（2）(1)可类比前面的计算哦！(2)探究新知

归纳总结二次根式的乘法法则的推广：①多个二次根式相乘时此法则也适用，即②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即4.计算：巩固练习解：=20×18=360(1)

(2)(2)(1)解：(1)方法一：∵

，，方法二：∵

，

，探究新知素养考点3二次根式的大小比较例3

比较大小:（1）与∴，∴

，即.又∵20＜27，又∵20＜27，即.解：(2)∵

，，

又∵52＜54，

∴，∴,即探究新知两个负数比较大小，绝对值大的反而小（2）与探究新知方法点拨比较两个二次根式大小的方法：(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大．(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较．巩固练习5.比较下列各组数的大小.(1)和;(2)和;解：∵>0,>0,且（

）2=98,（

）2=99,(1)∴（

）2<（

）2,又∵98<99,即<

.(2)∵

=,=,又∵>

∴

>

.反过来，就得到：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般地：我们可以运用它来进行二次根式的化简.语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.探究新知知识点2二次根式的乘法法则的逆用例4

化简：（1）；（2）．(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.探究新知素养考点1利用二次根式的乘法法则的逆用计算=解：（1）

=

4×9=36（2）===6.化简:

提示：

化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来。巩固练习（1）（2）（3）解:（1）（2）（3）例5

计算：（1）；（2）；（3）．探究新知素养考点2利用二次根式的乘法法则及逆用计算

解：（1）（2）（3）探究新知方法点拨化简二次根式的步骤：1.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式

把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简

.巩固练习7.计算：（1）解：原式==30（2）解：原式=巩固练习连接中考B（2019•株洲）＝（

）A．

B．4

C．

D．1.下面计算结果正确的是()

A.B.C.D.D基础巩固题2.若，则（）

A．x≥6

B．x≥0

C．0≤x≤6

D．x为一切实数A课堂检测4.

比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：＞＜

3.

计算：（1）=______（2）=______（3）=______（1）___（2）___基础巩固题课堂检测5.

计算：解：

（1）（2）（1）=12×13=156=a2基础巩固题课堂检测（2）6.计算：课堂检测（1）（2）解：（1）（2）基础巩固题1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为，宽为，求出它的面积.解：它的面积为能力提升题课堂检测2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.(1)已知,，求S；

解：S=ab=

（2）已知

,

，求S.

课堂检测能力提升题=

（1）

S

=ab

=

（2）=240

=

=

=

=

（1）；（2）．

1.

化简：解：（1）

拓广探索题课堂检测（2）

2.已知试着用a,b表示.解：课堂检测拓广探索题又二次根式乘法法则性质拓展法则课堂小结

二次根式的除法和最简二次根式

第二课时返回站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为.解：问题1

某一登山者爬到海拔100米处，即

时，他看到的水平线的距离d1是多少？导入新知问题2

该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？问题3

他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解：解：【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？导入新知2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.1.

掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.素养目标3.

理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化为最简二次根式.(1)

___÷___=____;=_____;计算下列各式:(2)

___÷___=____;(3)

___÷___=____;=_____;=_____.234567观察两者有什么关系？

探究新知知识点1

二次根式的除法观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)

(2)

(3)

猜想

通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？特殊一般探究新知

在前面发现的规律中，a,b的取值范围有没有限制呢？a,b同号就可以啦探究新知你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.二次根式的除法法则:文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得探究新知例1

计算：解:探究新知素养考点1

利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算.（1）（2）（1）（2）1.计算：解：巩固练习（1）（2）（3）（1）（2）（3）解:探究新知素养考点2提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.

利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式例2

计算:（1）（2）（1）（2）2.计算，看谁算的既对又快.巩固练习（1）（2）（3）（4）我们可以运用它来进行二次根式的化简.语言表述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:探究新知知识点2

商的算术平方根的性质解:补充解法：探究新知素养考点1

商的算术平方根的性质的应用例3

化简:（1）（2）（1）（2）还有其它解法吗?解：探究新知提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.（3）（4）（5）（3）（4）（5）C巩固练习

3.能使等式成立的条件是

()A.x≥0

B.－3＜x≤0C.x＞3

D.x＞3或x＜04.化简：（1）=_____（2）=_____（3）=_____（4）=_____解：（1）（2）

问题1计算：（1）（2）（3）．（3）．探究新知知识点3

最简二次根式问题2观察上面各小题计算的最后结果并思考：（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？探究新知探究新知

归纳总结

最简二次根式应满足的条件：(1)被开方数不含分母或分母中不含____________；(2)被开方数中不含____________的因数或因式.注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.二次根式开得尽方解:探究新知素养考点1

分母有理化总结：分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.例4

计算:(1)(2)(3)（2）（3）（1）探究新知方法点拨化成最简二次根式的一般方法(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,如

;(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如;(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如

.5.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．解：只有(3)是最简二次根式；巩固练习（1）（2）（3）（4）（5）(1)(4)(2)(5)

设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知，求a的值.解:∵知识点4

二次根式的应用探究新知∴

6.

高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式

.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？解:由题意得巩固练习1.（2018•绵阳）等式

成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．

B．

C．

D．巩固练习连接中考B2.（2019•河池）下列式子中，为最简二次根式的是（）A．

B．

C．

D．B1.化简的结果是（）A．9

B．3

C．D．B2.下列根式中，最简二次根式是（）A.

B.

C.

D.C课堂检测基础巩固题3.能使等式成立的x的取值范围是（）

A.x≠2

B.x≥0

C.x＞2

D.x≥2C4.化简：解：课堂检测（1）（3）（2）（1）（2）（3）基础巩固题

在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有

.若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．解：当W=2400，R=100，t=15时，课堂检测能力提升题（安培）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“

”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？按计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；课堂检测拓广探索题解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：而按

计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．二次根式除法法则性质拓展法则相关概念分母有理化最简二次根式课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习16.3二次根式的加减第一课时第二课时人教版数学八年级下册二次根式的加减运算第一课时返回

有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？

导入新知1.理解二次根式可以合并的条件.

3.能熟练地进行二次根式的加减法运算.素养目标2.类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则.

aaaaaaaaaa=+在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当a=时，分别代入左右得;当a=时，分别代入左右得;......知识点1二次根式可以合并的条件探究新知你发现了什么？因为，由前面知两者可以合并.当a=,b=

时，得2a+3b=.a2a+3bb=+bba前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：探究新知这两个二次根式可以合并吗？你又有什么发现吗?

探究新知

归纳总结将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.

注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：1.下列各式中，与是同类二次根式的是（）

A.

B.

C.

D.D2.下列二次根式，不能与合并的是________(填序号）.②巩固练习⑤例1

若最简二次根式与可以合并，求的值.解：由题意得即探究新知素养考点1利用二次根式可以合并的条件求字母的值提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.解得1（1）

与最简二次根式能合并，则m=_____.1巩固练习（2）若两个最简二次根式与可以合并,则a=_____，b=_______.3.完成下列各题：1现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm【讨论】

1.怎样列式求两个正方形边长的和?S=8dm2S=18dm2知识点2二次根式的加减探究新知【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.（化成最简二次根式）（逆用分配律）∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．解：列式如下：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.探究新知化为最简二次根式用分配律合并整式加减二次根式性质分配律

整式加减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.

基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．探究新知探究新知

归纳总结二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；加减法的运算步骤：(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.

“一化简二判断三合并”解：例2

计算:素养考点1二次根式的加减计算（3）（4）（1）（1）（2）（2）（3）（4）探究新知4.下列计算正确的是（）

A.

B.C.

D.

C5.已知一个矩形的长为,宽为，则其周长为______.巩固练习例3

计算:解：探究新知素养考点2二次根式的加减混合运算（1）（2）（1）（2）计算时，有括号，一定要先去括号！6.计算

(1)；

解：原式解：原式（2）.巩固练习例4

有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.解：①当腰长为时，∵∴此时能构成三角形，周长为

②当腰长为时，∵∴此时能构成三角形，周长为

素养考点3二次根式的综合性题目探究新知

7.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).巩固练习解：答：圆环的宽度d为cm.R-r1.（2018•曲靖）下列二次根式中能与

合并的是（）

A．

B．

C．

D．巩固练习连接中考B2.（2019•兰州）计算：＝（）A． B．

C．3 D．AD基础巩固题1.

与能合并的二次根式是()A.

B.

C.D.2.下列计算正确的是（）A.

B.

C.

D.

C课堂检测3.三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为__________.

4.计算:（1）=___（2）=___（3）=___（4）=_________基础巩固题课堂检测解：5.计算:(1)(2)(1)(2)基础巩固题课堂检测6.如果最简二次根式与可以合并，那么要使式子有意义，求x的取值范围.解：由题意得3a-8=17-2a,∴a=5，∴∴20-2x≥0，x-5＞0，∴5＜x≤10.基础巩固题课堂检测已知a,b,c满足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.解：(1)由题意得

；(2)能.理由如下：课堂检测能力提升题∵即a＜c＜b，又∵∴a+c＞b，∴能够成三角形，周长为

已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=

，求（2*3）－（27*32）的值．解：∵a*b=，∴（2*3）－（27*32）===拓广探索题课堂检测二次根式加减法则注意运算顺序运算原理一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算律仍然适用与实数的运算顺序一样课堂小结

二次根式的混合运算

第二课时返回如何进行单项式与多项式相乘的运算？你能用字母表示这一结论吗？思路：单×多转化分配律单×单m(a+b+c)

=ma+mb+mc导入新知【讨论】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？2.掌握二次根