山东省泰安市第八中学2021年高三数学文月考试题含解析

山东省泰安市第八中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，则sinαcosβ的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【分析】利用两角和与差公式打开化简，即可得答案．【解答】解：由sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=…①sinαcosβ﹣cosαsinβ=…②由①②解得：sinαcosβ=，故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差公式运用和计算能力．属于基础题．2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2、a4是方程x2﹣2x+b=0的两个根，则S5等于（）A．5B．﹣5C．D．﹣参考答案：A考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2a3=2，而S5==，代入化简可得答案．解答：解：由题意可得a2+a4=2，由等差数列的性质可得2a3=a2+a4=2，故S5===5故选A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．3.已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义；CF：几何概型．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C4.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（l≤X≤5）=0．6826，则P（X>5）=（

）A．0．1588

B．0．1587

C．0．1586

D．0．1585参考答案：B略5.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点(a，b)与直线的位置关系是（

）A．

B．

C.

D．与100的大小无法确定参考答案：B6.计算：的结果是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知复数z满足，则其共轭复数=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B，∴.故选：B9.已知函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0的可能取值，长度为定义域长度6，得事件f（x0）≤0发生的概率．【解答】解：∵f（x0）≤0，∴x02﹣x0﹣2≤0，∴﹣1≤x0≤2，即x0∈，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈，∴使f（x0）≤0的概率P==．故选：C．10.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是A． B．C． D．a2＋b2＞2ab参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，若，则实数k=

．参考答案：4，则题意，解得.

12.等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．参考答案：30【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．13.设集合A＝{x｜0≤x＜1}，B＝{x｜1≤x≤2}，函数，则x取值区间是＿＿＿＿＿＿参考答案：14.高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为

参考答案：略15.观察下列等式：

可以推测：=

。

参考答案：16.的展开式中的系数为_______________.（用数字作答）参考答案：2017.已知表示两条直线,表示一个平面,给出下列四个命题:

①②

③

④则正确命题的序号为____________(写出所有正确命题的序号).参考答案：答案：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的定义域为，其中实数满足，直线是的图像在处的切线(1)求的方程：；(2)若恒成立，试确定的取值范围；(3)若，求证：参考答案：（1）

（2）

（3）构造函数略19.如图，四边形ABCD是矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为线段CE上一点，且BF⊥平面ACE，AC交BD于点G．（1）证明：AE∥平面BFD；（2）求直线DE与平面ACE所成角的大小．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接FG，推导出BF⊥CE，从而得到FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD．（2）推导出BC⊥AE，BF⊥AE，AE⊥BE，以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面ACE所成的角．【解答】证明：（1）连接FG，因为BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，所以BF⊥CE．又因为EB=BC，所以F为EC的中点，而矩形ABCD中，G为AC的中点，所以FG∥AE，又因为AE?平面BFD，FG?平面BFD，所以AE∥平面BFD．…解：（2）因为DA⊥平面ABE，BC∥DA，所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE．又因为BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以BF⊥AE．而BC∩BF=B，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．又因为AE=EB=2，所以．以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得A（0，0，0），，D（0，0，2），，所以，设平面ACE的一个法向量为，由，得，令x=1，得，又因为，设直线DE与平面ACE所成的角为α，则，所以，故直线DE与平面ACE所成的角为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.设，函数，.（1）当时，求函数f(x)的单调区间；（2）求函数g(x)的极值；（3）若函数f(x)在区间(0,+∞)上有唯一零点，试求a的值.参考答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）有极大值，无极小值；（3）.【分析】（1）求出，解得或，则可探究当时，当时，的变化，从而求出单调区间；（2）求出，令，结合导数探究在的单调性，结合，可探究出随的变化情况，从而可求极值；（3）令，可得在只有一个解，借助第二问可知，从而可求出的值.【详解】解：（1）当时，.易知定义域为，令，解得或，当时，，则递减；当时，，则递增，因此，的减区间为，增区间为.（2）的定义域为，则，令，则，故在单调递减，又知，当时，，即；当时，，即因此在单调递增，在单调递减.即当时，有极大值，无极小值.（3）令，整理得：在只有一个解，即图像与的图像在只有一个交点，由（2）知，在单调递增，在单调递减，且有极大值，所以，，解得.【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了运用导数求解函数的极值，考查了方程的根与函数的零点.本题的难点在于第二问，需要二次求导来确定导数为零的解.本题的易错点是求极值时，混淆了极值和极值点的概念，或漏写了极小值.21.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆。（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；（Ⅱ）若，求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值。

参考答案：22.已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）计算圆心O到直线l：x+y+8=0的距离，可得直线l被圆O截得的弦长，利用直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，可求a的值，利用椭圆的离心率为e=，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）由，可得四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，设直线方程代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心O到直线l：x+y+8=0的距离为，∴直线l被圆O截得的弦长为，∵直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，∴2a=4，∴a=2，∵椭圆的离心率为e=，∴c=∴b2=a2﹣c2=1∴椭圆C的方程为：；

…（4分）（Ⅱ）∵，∴四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，设A（x1，y2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0．…（7分）直线l的斜