期权定价BS期权定价公式四

第六章

期权定价1教学内容股价过程BSM随机微分方程风险中性定价B-S期权定价公式标的资产支付连续红利情况下的期权定价欧式指数期权、外汇期权和期货期权2马尔科夫过程(Markovprocess)无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性3Wiener过程(布朗运动)——定义瞬时增量为增量的均值等于0增量的标准差等于在任意两个微小时间段内的改变量是独立的Wiener过程是Markov过程4Wiener过程(布朗运动)——基本性质Wiener过程(长时间段内)的增量增量的均值等于0增量的标准差等于在任意时间段内的期望路径长度为无穷大在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无穷大5广义Wiener过程x是广义Wiener过程，如果漂移速度a是常数b是常数x是广义Wiener过程增量为正态分布，均值等于标准差为6Ito引理x是Ito过程，如果Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下， 因此，G也是Ito过程7Ito引理——应用于股票远期价格标的资产为不分红的股票，则远期价格为运用Ito引理，得到，8股价过程股价过程：几何布朗运动，：单位时间内股价的期望收益率(瞬时)：股价的波动率.S为股价过程，则9股价过程——对数正态分布股价对数过程，称股价呈对数正态分布10股价价过过程程————收收益益率率分分布布股票票收收益益率率(长长时时间间尺尺度度)与瞬瞬时时期期望望收收益益率率的的差差异异约定定：：在在没没有有特特别别声声明明的的情情况况下下，，股股票票收收益益率率指指瞬瞬时时期期望望收收益益率率11BSM随随机机微微分分方方程程————假假设设股价价过过程程为为Ito过过程程卖空空无无限限制制没有有交交易易成成本本、、税税收收，，证证券券是是无无限限可可分分的的衍生工工具在在到期期之前前不产产生红红利不存在在套利利机会会证券可可以连连续交交易所有期期限的的无风风险利利率同同为常常数12BSM随机机微分分方程程———推导导f表示示股票票衍生生工具具的价价值，，则它它是股股价与与时间间的函函数离散形形式13BSM随机机微分分方程程———推导导由于股股价过过程与与衍生生工具具价格格过程程中的的随机机部分分是相相同的的，因因此，，通过过选择择股票票与衍衍生工工具的的适当当组合合可以以消除除掉Wiener过程。。1个单单位衍衍生工工具空空头，，份份股股票把上述述投资资组合合的价价值记记作14BSM随机机微分分方程程———推导导组合的的价值值不包包含随随机部部分，，因此此是瞬瞬时无无风险险的股票衍衍生工工具都都满足足上述述方程程，不不同工工具的的差异异体现现在边边界条条件上上欧式买买权：：当t=T时，欧式卖卖权：：当t=T时，15BSM随机机微分分方程程———应用用于股股票远远期股票远远期的的价格格满足足BSM方程16BSM随机机微分分方程程BSM的任任何解解都都是是某种种可以以交易易的衍衍生工工具的的理论论价格格，并并且它它的交交易不不会导导致套套利机机会如果不不满满足BSM方程程，它它是某某种衍衍生工工具的的价格格，那那么该该衍生生工具具的交交易必必然导导致套套利机机会17风险中中性定定价(risk-neutralvaluation)Black-Scholes-Merton方程不不包含含股票票收益益率，，说明明衍生生工具具的价价值与与投资资者的的风险险偏好好无关关。因因此，，在定定价衍衍生工工具时时，可可以采采用任任何风风险偏偏好，，特别别地，，可以以假设设投资资者是是风险险中性性的在风险险中性性世界界中，，所有有证券券的期期望收收益率率都等等于无无风险险利率率风险中中性定定价的的一般般程序序假设标标的资资产的的期望望收益益率等等于无无风险险利率率计算衍衍生工工具在在到期期日的的期望望支付付(payoff)把期望望支付付按无无风险险利率率贴现现风险中中性定定价是是求解解BSM方程的的一种种人造造方法法，用用该方方法求求得的的解适适用于于任何何投资资者(不仅仅限于于风险险中性性的投投资者者)18风险中中性定定价———应应用于于股票票远期期边界条条件：：根据风风险中中性定定价原原则，，19欧式期期权定定价期权定定价是是一件件非常常具有有挑战战性的的任务务。在在20世纪纪的前前面70多多年里里，众众多经经济学学家做做出无无数努努力，，试图图解决决期权权定价价的问问题，，但都都未能能获得得令人人满意意的结结果。。在探探索期期权定定价的的漫漫漫征途途中，，具有有里程程碑意意义的的工作作出现现在1973年年———金融融学家家F.Black与M.Scholes发表了了“期期权定定价与与公司司负债债”的的著名名论文文该论文文推导导出了了确定定欧式式期权权价值值的解解析表表达式式———Black-Scholes欧式期期权定定价公公式，，探讨讨了期期权定定价在在估计计公司司证券券价值值方面面的应应用，，更重重要的的是，它采用用的动动态复复制方方法成成为期期权定定价研研究的的经典典方法法M.Scholes主要因因为这这一工工作与与R.Merton一道荣荣膺了了1997年的的诺贝贝尔经经济学学奖20BS期期权定定价公公式21欧式期期权定定价——轶轶事巧合的的是，，国际际上第第一个个期权权交易易所———芝芝加哥哥期权权交易易所于于1973年4月月底挂挂牌营营业，，略早早于B-S公式的的正式式发表表（5-6月号号）两位作作者最最先把把论文文投给给JPE，遭到了了编辑辑的拒拒绝，，而且且没有有得到到审稿稿意见见。拒拒绝的的理由由：金融太太多，，经济济学太太少他们于于是向向经济学学与统统计学学评论论投稿，，同样样在没没有得得到审审稿意意见的的情况况下遭遭到拒拒绝在芝加加哥人人E.Fama和M.Miller与JPE杂志的的编辑辑打了了招呼呼以后后，JPE才最终终发表表了这这篇论论文这一番番波折折导致致他们们检验验B-S公式的的论文文发表表在先先22BS期期权定定价公公式———离离散红红利不分红红的股股票欧欧式期期权的的价值值由五五个因因素决决定：：股票票的市市场价价格、、期权权执行行价格格、期期权距距离到到期的的时间间、无无风险险利率率以及及标的的股票票的波波动率率如果标标的股股票在在期权权到期期之前前分配配现金金红利利，由由于股股票期期权没没有分分红的的保护护，因因此不不能直直接利利用B-S期权权定价价公式式确定定欧式式期权权的价价值。。解决决这个个问题题的办办法是是：用用股票票的市市场价价格减减去股股票在在期权权到期期日之之前分分配的的红利利的现现值作作为股股价代代入到到B-S公公式中中，从从而得得到欧欧式期期权的的价值值23美式买买权的的执行行问题题———股票票分红红分红前前夕：：相应的的分红红数量量：如果在在最后后一次次分红红前夕夕执行行期权权，投投资者者得到到的价价值为为如果在在最后后一次次分红红前夕夕不执执行期期权，，那么么，期期权的的下界界告诉诉我们们，所以，，如果果，，即即‘，那么么，在在最后后一次次分红红前夕夕执行行期权权不是是最优优方案案如果，，可以以证明明，在在股价价充分分高的的情况况下，，执行行期权权是最最优方方案24美式买买权的的执行行问题题———股票票分红红一般地地，如如果，，那那么在在第I次分红红前夕夕执行行期权权不是是最优优方案案总结美式买买权如如果提提前执执行，，通常常发生生在最最后一一次分分红的的前夕夕如果对对i=1,2…n()成立，，那么么，提提前执执行不不是最最优方方案25美式卖卖权的的执行行问题题———股票票分红红美式卖卖权在在分红红之前前的一一段时时间里里执行行不是是最优优方案案如果对对i=1,2……n()成成立，，那么么，卖卖权不不应该该提前前执行行26欧式股股票期期权——连连续红红利下述两两种股股票在在T时刻的的价格格分布布相同同当前股股价为为，，支付付连续续红利利，红红利率率为q当前股股价为为，，不不支付付红利利定价原原则：：在定定价标标的股股票支支付连连续红红利的的欧式式期权权时，，可以以把它它当作作标的的股票票不支支付红红利的的欧式式期权权，只只要用用替替代代当前前股价价27欧式股股票期期权——连连续红红利期权下下界平价关关系28欧式股股票期期权——连连续红红利BSM随机机微分分方程程风险中中性定定价29欧式股股票期期权——连连续红红利30股票指指数期期权与与外汇汇期权权连续红红利的的BS定价公公式可可以直直接用用于股股票指指数期期权与与外汇汇期权权的定定价31期货期期权———支支付期货期期权的的到期期时间间通常常稍早早于标标得期期货得得到期期时间间最活跃跃的期期货期期权CBOT交易的的中长长期国国债期期货期期权(美式式)CME交易的的欧洲洲美元元期货货期权权(美美式)买权期货合合约多多头头头寸+相当当于期期货最最新结结算价价的现现金-期权权执行行价Max(F-X,0)，，其中F表示期期权执执行时时的期期货价价格卖权期货合合约空空头头头寸-相当当于期期货最最新结结算价价的现现金+期权权执行行价Max(X-F,0)，，其中F表示期期权执执行时时的期期货价价格32期货期期权———平平价关关系欧式期期权美式期期权33期货期期权———风风险中中性下下的期期望增增长率率在风险险中性性条件件下，，支付付连续续红利利的股股票的的期望望增长长率为为(r-q)，，其中r为无风风险利利率，，q为红利利率签订期期货合合约不不需要要支付付，因因此期期货价价格的的期望望增长长率为为零(参见见第8页)如果把期期货看作作支付连连续红利利的股票票，那么么该股票票的红利利率等于于无风险险利率期货价格格等于期期货到期期日即期期价格的的期望值值34期货期权权——定定价假设期货货价格过过程为在连续红红利的期期权定价价公式中中，用期期货价格格代替股股票价格格，并且且用无风风险利率率r替替代红红利率q，，就得到到期货期期权的定定价公式式359、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。01:28:4601:28:4601:281/6/20231:28:46AM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2301:28:4601:28Jan-2306-Jan-2312、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。01:28:4601:28:4601:28Friday,January6,202313、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。1月月-231月月-2301:28:4601:28:46January6,202314、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。06一一月月20231:28:46上上午01:28:461月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:28上午午1月-2301:28January6,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/61:28:4601:28:4606January202317、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。1:28:46上上午1:28上上午01:28:461月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。01:28:4601:28:4601:281/6/20231:28:46AM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。1月-2301:28:4601:28Jan-2306-Jan-2312、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。01:28:4601:28:4601:28Friday,January6,202313、不知香积寺寺，数里入云云峰。。1月-231月-2301:28:4601:28:46January6,202314、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。06一月20231:28:46上午01:28:461月-2315、楚塞塞三湘湘接，，荆门门九派派通。。。。一月231:28上上午午1月-2301:28January6,202316、少年十十五二十十时，步步行夺得得胡马骑骑。。2023/1/61:28:4601:28:4606January202317、空空山山新新雨雨后后，，天天气气晚晚来来秋秋。。。。1:28:46上上午午1:28上上午午01:28:461月月-239、杨柳散和和风，青山山澹吾虑。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、阅读一一切好书书如同和和过去最