2023届数学二轮复习讲练测：专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用（精讲精练）（解析版）

专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知奇函数核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，．因为，所以，即，所以．因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以．所以．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．故选：BC．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC．故选：BC．[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．故选：BC．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．【答案】

；

．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】显然当时，为单调减函数，当时，，则对称轴为，若是上减函数，则解得，故选：A．例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】假设，所以，所以，所以为奇函数，而是向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以的对称中心为，所以，由求导得因为，当且仅当即，取等号，所以所以在R上单调递增，因为得所以，解得，故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，可得，所以，或，∴（舍去），或，即，故A错误；又，故，∴，对于函数，则，函数单调递增，∴，故D错误；∵，，∴，令，则，∴函数单调递增，∴，即，∴，即，故B正确；∵，∴函数单调递增，故函数单调递增，∴，即，故C错误．故选：B．核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵为偶函数，∴，即函数关于对称，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，由，可得，整理得，，解得或．故选：B．例5．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，，不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意，当时，，所以在上为增函数，因为是定义在R上的奇函数，所以在R上为增函数，因为，所以，，所以，所以不等式可化为，所以，解得或，所以不等式的解集为，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，所以在上单调递增，且，不等式即为．又因为是偶函数，所以不等式等价于，则，所以，，解得．综上可知，实数的取值范围为，故选：A．例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以，又，，所以不等式，可化为，即，又因为在上单调递增，所以在R上单调递增，所以，解得．故选：D．例8．（2023春·广西·高三期末）是定义在R上的函数，为奇函数，则（

）A．－1 B． C． D．1【答案】A【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则．∴．故选：A例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）=，则满足恒成立的实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以是上的奇函数，由，所以是上的增函数，所以等价于：即，所以，令，则问题转化为：，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可．当时，，，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即，故选：A．核心考点三：已知奇函数+M【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．【答案】-2014【解析】，因为为奇函数，所以，其中，所以，解得：故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数，且，则（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3【答案】D【解析】设，因为，所以为奇函数，因为，所以，则．故选：D．例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】由题设，且，∴，则，∴为奇函数，令，∴，即是奇函数，∴在上的最小、最大值的和为0，即，∴．故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由题意，故有故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标．根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，故曲线和曲线的图象交点关于直线对称．即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，即，求得x1+x2=5，故选：D．例14．（2021春·高一单元测试）设函数，则不等式的解集为（

）A．（0，2] B．C．[2，＋∞） D．∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数的定义域为，且，所以函数为的偶函数，且在上为单调递减函数，令，可得，则不等式可化为，即，即，又因为，且在上单调递减，在为偶函数，所以，即，解得，所以不等式的解集为．故选：B．例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数，则的大小关系（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，所以是偶函数；当时，，在上是增函数，将图像向右平移一个单位得到图像，所以关于直线对称，且在单调递增．∵，，，∴，∴，又∵关于直线对称，∴，∴．故选：A核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】图象关于点对称，，又为上的偶函数，，，，是周期为的周期函数，，又，，．故选：C．例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数，函数为奇函数，若函数与图象共有个交点为、、、，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，函数的定义域为，，所以，，故函数的图象关于点对称，因为函数为奇函数，则，即，故函数的图象也关于点对称，函数与图象共有个交点为、、、，且这六个点也关于点对称，所以，．故选：B．例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得关于点对称，的图象也关于点对称，即若点为交点，则点也为交点，同理若为交点，则点也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为，故选：D．例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，，，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，则，且函数的图象与轴交点关于原点对称，不妨设，则，所以，则不等式，即为，解得，所以不等式的解集为．故选：A．例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数满足，则函数的图象关于点对称，且（1），函数，则，所以函数为奇函数，其图象关于点对称，又函数是由函数向右平移一个单位得到的函数，故函数的图象关于点对称，令，则，因为函数与的图象都关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点对称，因为函数恰有2021个零点，所以2021个零点除之外的2020个零点关于对称，则所有这些零点之和为．故选：D．核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】因为为偶函数，所以，用代替得：，因为为奇函数，所以，故①，用代替得：②，由①②得：，所以函数的周期，所以，即，因为，令得：，故，，解得：，所以时，，因为，令，得，其中，所以，因为，令得：，即，因为，所以，因为，令得：，故，．故选：C例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（

）A．16 B．20 C．24 D．28【答案】C【解析】因为是偶函数，所以，所以，所以函数关于直线对称，又因为，所以，所以，所以关于点中心对称，由及得所以所以函数的周期为，因为当时，（且），且，所以，解得：或，因为且，所以．所以当时，，所以，，，，，，，所以，所以，故选：．例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【解析】定义在R上的偶函数满足，所以的图像关于对称，且为周期是2的偶函数，当时，，所以画出函数图像如下图所示：①当时，结合图像可知与（）有两个公共点；②当与（）相切时，满足，即，令，解得．当时，结合图像可知与（）有两个公共点；由图像可知，时，直线与（）有三个公共点；又因为周期，可知（）．故选：B．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位可得，所以函数的图象的对称轴为，当时，，所以函数的图象也关于对称，在平面直角坐标系中作出函数与在右侧的图象，数形结合可得，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在右侧有5个交点，则，解得．故选：D．例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（

）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】B【解析】因为，所以的最小正周期是8，因为，，，，，又是周期为8的周期函数，所以，，所以．故选：B例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，．若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【解析】定义在R上的偶函数满足，所以的图像关于对称，且为周期是2的偶函数，当时，，所以画出函数图像如下图所示：①当时，结合图像可知与（）有两个公共点；②当与（）相切时，满足，即，令，解得．当时，结合图像可知与（）有两个公共点；由图像可知，时，直线与（）有三个公共点；又因为周期，可知（）．故选：B．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位可得，所以函数的图象的对称轴为，当时，，所以函数的图象也关于对称，在平面直角坐标系中作出函数与在右侧的图象，数形结合可得，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在右侧有5个交点，则，解得．故选：D．例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，，恒有，且当时，1，则（

）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】B【解析】因为，所以的最小正周期是8，因为，，，，，又是周期为8的周期函数，所以，，所以．故选：B核心考点七：类周期函数【典型例题】例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，当时，当时，，当时，，因此当时，，选B．例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因为时，，所以，因为函数满足，所以，所以，，又因为，恒成立，故，解不等式可得或．例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，又，因此当时，函数，从而，选C．核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数对任意，都有成立．有以下结论：①；②是上的偶函数；③若，则；④当时，恒有，则函数在上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令，则，解得，①正确；对于②令，则，∴，∴是上的奇函数，②错误；对于③令，则，∴，③正确；对于④设，则，∴，则，∴在上单调递减，④错误．故答案为：①③．例33．（2022·山东聊城·二模）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，因为，所以，即，设，则在上单调递减，而，则，解得：；因为为R上的奇函数，所以，则为R上的偶函数，故在上单调递增，，则，解得：；综上，原不等式的解集为．故选：B．例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知，．由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，所以，所以．故选：C例35．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以，所以函数是周期为2的函数，又的图象也关于直线对称，作出函数与在区间上的图象，如图所示：由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，所以方程核心考点九：函数性质的综合【典型例题】例36．（2023·上海·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且恒成立，则不等式的解集为______．【答案】【解析】由于函数定义在上的偶函数，在是增函数，由得，所以，解方程得，令，则，所以是方程的两根，由韦达定理得，解得，则不等式即，设，，，故，所以单调递增，且，故解集为．故答案为：．例37．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知是定义域为R的奇函数，为奇函数，则__________．【答案】68【解析】而是定义域为R的奇函数，故有，且，因为为奇函数，所以，而，所以，用替换得：，令，则有，即；令，则，则，即；令，则有；所以．；；；所以．故答案为：68例38．（2023春·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设a＞0，b＞0，若关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，则a+b的值为______．【答案】【解析】不妨令，显然满足，可知为偶函数，因为关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，所以必有x2＝0，且﹣x1＝x3＝b，故x1+x2+x3＝0，将x2＝0，x3＝b代入原方程得：，当b≥a时，原方程化为，解得，此时，当b＜a时，原方程化为，解得a＝b＝0，与a＞0，b＞0矛盾，故．故答案为：．例39．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，对于任意的，均有，当时，，则函数的所有零点之和为______；【答案】4042【解析】图像关于轴对称的偶函数向右平移一个单位得到函数．因为函数是偶函数，所以，令替换，则有，所以函数的周期为2，且函数关于直线对称，又当时，，当时，，，当时，，依次类推，可以求出，当时，由此可在同一平面直角坐标系下作出函数与的部分图象．函数的零点，即为函数与的交点横坐标，当时，，两函数图像无交点，又两函数在上有2021个交点，由对称性知它们在上也有2021个交点，且它们关于直线对称，则对称两零点和为2，所以函数的所有零点之和为4042．故答案为：4042．【新题速递】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）己知函数，，若与图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的有（

）个①若，则

②若，则③若，则

④若，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，当时，令，则，即函数有且仅有一个零点为0，同理易知函数有且仅有一个零点为0，即与也恰有一个公共点，故①错误；对于②：当时，如下图：易知在，且，与图像相切，由当时，，则，，故，从而，所以，故②正确；对于③：当时，如下图：则，，所以，又图像关于对称，结合图像有，即有，故③正确；对于④：当时，由，与的图像在y轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故④正确．故选：C．2．（2023·青海海东·统考一模）已知函数，且，则下列结论正确的是（

）A．当时，在上是增函数B．当时，在上是增函数C．的单调性与有关D．若不等式的解集是，则【答案】B【解析】当时，在上单调递增，且．因为函数在上是减函数，所以在上是减函数，则错误；当时，在上单调递减，且．因为函数在上是减函数，所以在上是增函数，则正确；定义域为R，，所以，为R上的偶函数．又由前面分析知，当时，在上是减函数，根据偶函数的性质知，在上是增函数；当时，在上是增函数，根据偶函数的性质知，在上是减函数．所以，可知，当且时，在上是减函数，在上是增函数．从而的单调性与无关，故C错误；因为不等式的解集是．由前面分析知，为R上的偶函数．在上是减函数，在上是增函数．所以，所以，解得或，则D错误．故选：B．3．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则．因为，所以，即，所以在上单调递减．不等式等价于不等式，即．因为，所以，所以．因为在上单调递减，所以，解得故选：A4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【解析】，故函数关于对称，又在上严格递增；即当且仅当时取得．故选：B．5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若正实数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】即即即令，根据增函数加增函数为增函数得在上为增函数，，，故选：A．6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在（0，ln2）上恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为分别为偶函数和奇函数，①，所以，即②，①②联立可解得，，不等式为，，则，，设，则，，，，在上是增函数，，又在时是增函数，所以，，，在恒成立，则．故选：C．7．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）设，函数是定义在R上的奇函数，且，在单调递增，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对A：∵函数是定义在R上的奇函数，则，A错误；由题意可得：在上单调递增，则在上单调递增∵，则∴函数关于对称，则在上单调递减当时，当且仅当时，；当且仅当或时，∵函数关于对称，则，即∴，则函数的周期为4当时，则有：的根依次为，即当且仅当，若，则，即，C、D错误；的根依次为，即当且仅当，∵，则，B正确；故选：B．8．（2023春·辽宁·高三校联考期中）已知偶函数在区间上单调递减，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，因为，所以由偶函数性质知所以，解得：．故选：A．二、多选题9．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】若为偶函数，则，故，则为奇函数故，由可得，又可得，两式相减得，所以函数的周期为4；由可得又可得，两式相加得所以函数的对称中心为；则，，故A选项正确；又，则，由函数的周期为4可得，，故B，D选项正确；可得，所以，故C选项不正确；故选：ABD．10．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（

）A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A选项，因为为偶函数，所以．由，可得，可得，所以，函数的图象关于直线对称，A错；对于B选项，因为，则，又因为，可得，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为函数为偶函数，且，则，从而，则，所以，函数是以为周期的周期函数，C对；对于D选项，因为，且，，又因为，所以，，又因为，则，所以，，故，因此，函数是周期为的周期函数，D错．故选：BC．11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为若，为奇函数，所以，令得，，即，，A选项正确；所以，，即，所以，函数关于对称，对称，所以，，即所以，，所以，，即函数为周期函数，周期为，所以，，，故D选项正确，B选项错误；对于C选项，由可得，其中为常数，所以，所以，故令得，即，故C选项正确．故选：ACD．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（

）A．图象关于对称 B．C．的最小正周期为4 D．对任意都有【答案】BCD【解析】为上的奇函数，则，．为偶函数，即关于轴对称，则．所以，则，故，则最小正周期为4；对A，，故图象不关于对称，A错；对B，，B对；对C，最小正周期为4，，的最小正周期为