2021-2022高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算3空间向量的数量积运算2作业含解析新人教A版选修2-120220309132

PAGEPAGE9空间向量的数量积运算课时目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝______分配律a·(b＋c)＝____________(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝______④|a·b|≤|a|·|b|.一、选择题1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．44.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则·eq\o(CF,\s\up6(→))等于()A．0B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(1,2)5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6eq\r(2)B．6C．12D．1446．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m不平行于n，m也不垂直于nD．以上三种情况都有可能二、填空题7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则a与b的夹角为________．8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则|a＋b|＝________.9．在△ABC中，有下列命题：①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝0；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形；④若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，则△ABC为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.11．在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝eq\f(1,2)|ND|，求|MN|.能力提升12.平面式O,A.B三点不共线，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，＝b，则△OAB的面积等于()A.eq\r(|a|2|b|2－a·b2)B.eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2)D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)13.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．1．空间向量数量积直接根据定义计算．2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．3．1.3空间向量的数量积运算知识梳理1．〈a，b〉[0，π]2．(2)λ(a·b)b·aa·b＋a·c(3)①a·b＝0②|a|·|b|－|a|·|b|③eq\f(a·b,|a||b|)作业设计1．D[①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]2．A[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．]3．C[|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝eq\r(13).]4．D[eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)cos60°＋eq\f(1,4)cos60°－eq\f(1,2)cos60°－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).]5．C[∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝108＋2×6×6×eq\f(1,2)＝144，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝12.]6．B[由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，∴m⊥n.]7．60°解析由|a－b|＝eq\r(7)，得(a－b)2＝7，即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.8.eq\r(7)解析|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×2×\f(1,2)＋4)＝eq\r(7).9．②③解析①错，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；②正确；③正确，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|；④错，△ABC不一定是锐角三角形．10．证明∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.11．解如图所示，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝a，把题中所用到的量都用向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))表示，于是eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2cos60°＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2)a2，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝·＝eq\f(1,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.故|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝＝eq\f(\r(5),3)a，即|MN|＝eq\f(\r(5),3)a.12.C[如图所示，S△OAB＝eq\f(1,2)|a||b|·sin〈a，b〉＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(1－cos〈a，b〉2)＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(1－\f(a·b,|a||b|)2)＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(\f(|a|2|b|2－a·b2,|a|2|b|2))＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2).]13.解由AC⊥α，可知AC⊥AB，过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连结BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，∴∠BDD1＝60°，∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))〉＝60°，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq