高中数学必修一典型例题分析之数列

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对于即将升入高中的同学来说，高中数学是一个让人对比头疼的科目，下面是我为大家整理的高中数学必修一数列经典例题及解析，梦想能对大家有所扶助。

高中数学必修一数列经典例题

在100以内有多少个能被7个整除的自然数?

解∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d=7，an=98.

代入an=a1+n-1d中，有

98=7+n-17

解得n=14

答100以内有14个能被7整除的自然数.

在-1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列.

解设这五个数组成的等差数列为an

由已知：a1=-1，a5=7

7=-1+5-1d解出d=2

所求数列为：-1，1，3，5，7.

插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项.

在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?

解设an=3n，bm=4m-3，n，mN

得n=4k-1kN，得an，bm中一致的项构成的数列cn的通项cn=12n-3nN.

那么在[1000，2000]内cn的项为8412-3，8512-3，，16612-3

n=166-84+1=83共有83个数.

高中数学必修一数列经典例题

三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.

解设三个数分别为x-d，x，x+d.

解得x=5，d=2

所求三个数为3、5、7或7、5、3

说明留神学习此题对三个成等差数列的数的设法.

已知a、b、c成等差数列，求证：b+c，c+a，a+b也成等差数列.

证∵a、b、c成等差数列

2b=a+c

b+c+a+b=a+2b+c

=a+a+c+c

=2a+c

b+c、c+a、a+b成等差数列.

说明假设a、b、c成等差数列，常化成2b=a+c的形式去运用;反之，假设求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a+c.本例的意图即在让读者体会这一点.

可能是等差数列.

分析直接证明a、b、c不成能是等差数列，有关等差数列的学识较难运用，这时往往用反证法.

证假设a、b、c是等差数列，那么2b=a+c

2ac=ba+c=2b2，b2=ac.

又∵a、b、c不为0，

a、b、c为等比数列，

又a、b、c为等差数列，

a、b、c为常数列，与a=?b冲突，

假设是错误的.

a、b、c不成能成等差数列.

高中数学必修一数列经典例题

解答以下各题：

1已知等差数列an，an=?0，公差d=?0，求证：

①对任意kN，关于x的方程

akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;

分析与解答

1akx2+2ak+1x+ak+2=0

∵an为等差数列，2ak+1=ak+ak+2

akx2+ak+ak+2x+ak+2=0

akx+ak+2x+1=0，ak=?0

∵an为等差数列，d为不等于零的常数

2由条件得2b=a+c

4RsinB=2RsinA+2RsinC，2sinB=sinA+sinC

分析至此，变形目标需明确，即要证

由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有

若正数a1，a2，a3，an+1成等差数列，求证：

证明设该数列的公差为d，那么

a1-a2=a2-a3==an-an+1=-d

a1-an+1=-nd

原等式成立.

高中数学必修一数列经典例题

已知Sn是数列an的前n项和，Sn=pnpR，nN*，那么数列an.

[]

A.是等比数列

B.当p=?0时是等比数列

C.当p=?0，p=?1时是等比数列

D.不是等比数列

分析由Sn=pnnN*，有a1=S1=p，并且当n2时，

an=Sn-Sn-1=pnpn-1=p-1pn-1

但得志此条件的实数p是不存在的，故此题应选D.

说明数列an成等比数列的必要条件是an=?0nN*，还要注

已知等比数列1，x1，x2，，x2n，2，求x1x2x3x2n.

解∵1，x1，x2，，x2n，2成等比数列，公比q

2=1q2n+1

x1x2x3x2n=2q3q2n=q1+2+3++2n

式;2已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.

a4=2

已知a0，b0且a=?b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，，xn，使得a，x1，x2，，xn，b成等比数列，求

证明设这n+2个数所成数列的公比为q，那么b=aqn+1

高中数学必修一数列经典例题

设a、b、c、d成等比数列，求证：b-c2+c-a2+d-b2=a-d2.

证法一∵a、b、c、d成等比数列

b2=ac，c2=bd，ad=bc

左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2

=2b2-ac+2c2-bd+a2-2bc+d2

=a2-2ad+d2

=a-d2=右边

证毕.

证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，那么：

b=aq，c=aq2，d=aq3

左边=aq-aq22+aq2-a2+aq3-aq2

=a2-2a2q3+a2q6

=a-aq32

=a-d2=右边

证毕.

说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子.证法二