用锐角三角函数解决问题 讲义 苏科版数学九年级下册

用锐角三角函数解决问题一、学习目标1．能根据条件合理建构直角三角形，在直角三角形中表达、描述边、角关系，理解借助边长比值刻画角的方法．2．能在常见的坡度问题、测量问题、旋转问题、几何综合问题中使用三角函数简化边角关系，用三角函数替换原有的相似解决问题．二、典型例题题型一、三角函数在坡度问题中的应用例1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度为1：2，则此斜坡AB长（）A．30eq\r(5)m B．60m C．30m D．15m借题发挥1．如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度β为1∶1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高4.5米，求坝底宽AB的长．借题发挥2．如图，某数学活动小组要测量楼AB的高度，楼AB在太阳光的照射下在水平面的影长BC为6米，在斜坡CE的影长CD为13米，身高1.5米的小红在水平面上的影长为1.35米，斜坡CE的坡度为1：2.4，求楼AB的高度．题型二、三角函数在测量问题中的应用例2．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为 （）A．asinα＋asinβ B．acosα＋acosβ C．atanα＋atanβ D．eq\f(a,tana)＋eq\f(a,tanβ ) 借题发挥．云洞岩被誉为“闽南第一洞天”风景文化名山，是国家4A级旅游景区．如图，某校数学兴趣小组为测量山高，在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着坡角为30°的山坡前进200米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，求山的高度BC．(结果保留根号)题型三、三角函数在旋转问题中的应用例3．将直角△ABC如图放置，点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（2，0），点C在原点；将AB绕点A逆时针旋转60°后得到AB′，求点B′的坐标．借题发挥1．若改为AB旋转45°后得到AB′，求点B′的坐标．借题发挥2．若改为旋转角为且tanα＝eq\f(1,2)，求点B′的坐标．题型四、三角函数在其它几何问题中的应用例4．如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠C＝∠E＝90°，AC＝DE＝12，BC＝FE＝16，点D为AB的中点，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交BC于点G、H，若△DGH是等腰三角形（DG＝GH），则△DGH的面积为__________．借题发挥．如图，在□ABCD中，AB＝4，AD＝5，tanA＝eq\f(4,3)，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AD－DC于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，连接QR．设△PQR与□ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．求当点R落在□ABCD的外部且t≤3时，求S与t的函数关系式．三、课后练习1．如图是墙壁上在l1，l2两条平行线间边长为a的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为a，则两条平行线间的距离为 （）A．asinα B．asinα＋acosα C．2acosα D．asinα－acosα2．如图，商用手扶梯AB的坡比为1：eq\r(3)，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为 （）A．6米 B．6eq\r(3)米 C．12米 D．12eq\r(3)米3．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C两地在同一水平面上)，为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为 （）A.100eq\r(3)mB.50eq\r(2)mC.50eq\r(3)mD.eq\f(100\r(3),3)m4．如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC．（1）如果斜坡AB＝10m，大坝高为8m，斜坡AB的坡度iAB＝．（2）如果坡度iAB＝1∶eq\r(3)，则坡角∠B＝．5．一棵树AC在地面上的影子BC为10m，在树影一端B测得树顶A的仰角为45°，则树高________m(结果保留根号)．6．如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆21m的C处，用高1.50m的测角仪CD测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，旗杆AB的高＝．(结果保留根号)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=120°，求水坝原来的高度BC．(结果保留根号)合肥新桥国际机场出港大厅有一幅“黄山胜景”的壁画．如图，聪聪站在距壁画水平距离15m的地面，自A点看壁画上部D的仰角为45°，看壁画下部C的仰角为30°，求壁画CD的高度．(结果保留根号)9．某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？(结果保留根号)10．如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且BC＝1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得AD＝1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．四、课后练习答案1．B．提示：解：如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBF＝∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE≌△CFB（AAS），∴BE＝CF，在Rt△BCF中，BF＝a•sinα，CF＝a•cosα，∴BE＝a•cosα，∴EF＝BE＋BF＝asinα＋acosα，即两条平行线间的距离为asinα＋acosα，故选：B．2．A．3．A．4．（1）eq\f(4,3)（2）90º．5．10．6．eq\f(3,2)＋7eq\r(3)．7．3＋eq\r(3)．提示：假设AB＝x，CB＝eq\r(3)x，得出方程2＋eq\r(3)x＝4＋x，解得x＝eq\r(3)＋1，BC＝3＋eq\r(3)．8．15－5eq\r(3)．提示：过点A向CD作高．9．提示：解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°－15°＝75°，∵∠ADC＝60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(DE,4)＝eq\f(1,2)，∴DE＝2，∵sin60°＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(AE,4)＝eq\f(eq\r(3),2)，∴AE＝2eq\r(3)，∴∠EAD＝90°－∠ADE＝90°－60°＝30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD－∠DAE＝75°－30°＝45°，∴∠C＝90°－∠CAE＝90°－45°＝45°，∴AE＝CE＝2eq\r(3)，∴sin45°＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(2eq\r(3),AC)＝eq\f(eq\r(2),2)，∴AC＝2eq\r(6)，∴AB＝2eq\r(6)＋2eq\r(3)＋2.10．提示：解：过B作BH⊥EF于点H，∴四边形BCFH为矩形，BC＝HF＝1.5m，∠HBA＝∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝1.5m，∴AB