《两角和与差的正弦余弦正切公式》解题思路

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》解题思路重点：公式的应用.难点：公式的推导及变形应用.六个公式的特征两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异（即公式右端分别是α与β的余弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反）；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同、分母异.它们的内在联系如下：一、和（差）角的余弦公式cos(α-β)与cos（α+β）的公式中所用“量”是相同的，只是运算符号“+”与“-”不同，两者是相对的.例1已知：cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，eq\f(3π,2)＜α＋β〈2π，eq\f(π,2)〈α－β〈π，求cos2α与cos2β.【思路点拨】本题运用角的转化关系“2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝(α＋β)－(α－β)”，及两角和与差的余弦公式求解【解】∵eq\f(3π,2)〈α＋β〈2π，cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(3,5).∵eq\f(π,2)〈α－β〈π，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，∴sin(α－β)＝eq\f(3,5).∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(4,5)×(－eq\f(4,5))－(－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)＝－eq\f(7,25).cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(4,5)×(－eq\f(4,5))＋(－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)＝－1.【思维总结】解题关键是利用已知角构造所求的角.二、和(差)角的正弦公式S（α±β）的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的函数值计算.S(α±β)的逆向应用是在符合公式的特征形式下，把多项式的三角函数计算转化为一个角（α+β）或（α-β）的函数值计算.例2化简求值：（1）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（2）sin-cos;（3）(tan10°-).【分析】（1）可先用诱导公式再用两角和的正弦公式.（2）可提出2后逆用两角和与差的正弦、余弦公式.（3）可先用常值代换即=tan60°,再切化弦、通分、逆用公式化简.【解】(1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)法一：原式＝2(eq\f(1,2)sineq\f(π,12)－eq\f(\r(3),2)coseq\f(π,12))＝2(sineq\f(π,6)sineq\f(π,12)－coseq\f(π,6)coseq\f(π,12))＝－2cos(eq\f(π,6)＋eq\f(π,12))＝－2coseq\f(π,4)＝－eq\r(2).法二：原式＝2(eq\f(1,2)sineq\f(π,12)－eq\f(\r(3),2)coseq\f(π,12))＝2(coseq\f(π,3)sineq\f(π,12)－sineq\f(π,3)coseq\f(π,12))＝2sin(eq\f(π,12)－eq\f(π,3))＝－2sineq\f(π,4)＝－eq\r(2).(3)(tan10°－eq\r(3))eq\f(cos10°,sin50°)＝(tan10°－tan60°)eq\f(cos10°,sin50°)＝(eq\f(sin10°,cos10°)－eq\f(sin60°,cos60°))eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin(－50°),cos10°cos60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝－eq\f(1,cos60°)＝－2.【点评】解答此类题一般先要用诱导公式把角化正、化小、化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.三、和(差)角的正切公式（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和.（2）由正切函数的定义可知α、β、α+β（或α-β）的终边不能落在y轴上，即不为kπ+（k∈Z）.例3.已知-<α<,-<β<,且tanα,tanβ是方程x2+6x+7=0的两根,求α+β的值.【思路点拨】tan(α+β)的展开式中含有tanα+tanβ,tanαtanβ的关系,要善于应用.【解】由根与系数的关系，得tanα+tanβ=-6<0,tanαtanβ=7>0,∴tanα〈0，tanβ〈0.又∵－eq\f(π,2)〈α〈eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)〈β〈eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)〈α〈0，－eq\f(π,2)〈β〈0，∴－π〈α＋β〈0.∵tan(α＋β)＝eq\f(ta