压电效应振动模式

压电振动模式王春雷山东大学物理学院晶体材料国家重点实验室石英晶体：石英晶体的结构、培育、主要特性、质量检验、缺陷和电清洗压电效应：压电效应、压电方程、切型和定向、旋转坐标系、频率温度系数振动模式：振动模式、压电振子的等效电路、机电类比和机电网络，常见的振动模式谐振器和振荡器：谐振器的等效电路、振动模式；振荡器原理为什么研究压电振子的振动模式？有哪些常用的振动模式？如果使用石英晶体的xy切片（即：厚度沿x方向，长度沿y方向，电极面在x面上），加电压沿x产生电场，会激发三个振动：沿x方向的厚度伸缩振动；沿y方向的长度伸缩振动；沿yz方向的面切变振动；石英晶体的压电性xyz沿x加电压产生三个振动：沿x方向的厚度伸缩振动；沿y方向的长度伸缩振动；沿yz方向的面切变振动；如何保留我们所需要的振动，抑制寄生振动（我们所不需要的）？施加电压的频率与某个方向机械振动的频率相同，产生谐振（共振resonate）。压电振子piezoelectricresonator牛顿定律压电方程波动方程边界条件质点位移电位移、应力、应变电流、导纳、阻抗材料参数|等效电路元件设计材料设计压电振动模式分析过程例子：薄长片压电振子设d310的压电晶体的zx切割晶片，长度l沿x方向，宽度lw沿y方向，厚度lt沿z方向，并且有l>>lw和lt，电极面与z轴垂直，如图6-3所示。因为l>>lw和lt，长度方向是主要因素，所以只考虑应力分量X1的作用，其它应力分量X2、X3、X4、X5、X6可以忽略不计。

位移（形变）是由压电性引起的！为了对上式所表示的波形有较具体的了解，在图5-2中，绘出了t=0及t=/=1/2周期时的波形。从图5-2中可以看出上式代表纵驻波方程式，即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。长度伸缩振动模式压电晶片内，质点位移随u位置x和时间t的变化关系：t=0及t=/=1/2周期时的波形基波和一次谐波质点位移示意图压电振子谐振时的波形，理论上振幅应该无限大！实际上是谐振模式振幅远大于非谐振模式振幅！薄长片压电振子的等效导纳为：电场（电压）频率：f声速：c密度：频率很低时的情况atlowfrequency：当外加交变电场的频率很低时，即很小时，可以近似认为k=/c0，于是:频率特性与传统（线性）介质电容基本相同☞频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳：式中电容：（5-21）机械自由介电常数在谐振频率时的情况resonant：当外加交变电场的频率f等于谐振频率fr时，即：=r=c/l时，<=基波解n=0!高次谐波的不同说法：泛音、副音。一次谐波、二次谐波…n=0,1,2…基波、三次谐波…m=2n+1=1,3,5…基波和一次谐波的位移示意图节点，夹具固定的位置与传统电介质材料不同！于是得到在谐振频率时，薄长片压电振子的等效导纳为无限大。而阻抗等于零，Z|r=1/G|r=0，响应的电流I3|r=。可见，当外加交变电场的频率等于薄长片压电振子的谐振频率fr时，阻抗为零时，而通过的电流最大。谐振频率fr为：薄长片压电振子长度晶片沿长度方向机械振动的谐振频率！力学谐振电学谐振弹性顺服常数sE11的确定实验上，可以通过谐振频率的测量，即：阻抗最小，电流最大时的频率来确定弹性柔顺常数sE11（当然还要测量压电振子的密度），即：(5-23)神奇：通过电学量测量确定力学量！回忆力学实验课的杨氏模量的测量！在反谐振频率时anti-resonant当外加交变电场的频率f稍高于谐振频率fr时，即：并有>0，于是：因为>0，所以(+)/2在第二象限，这时tan((+)/2)<0，并随频率的增加在（-

0）范围内变化，因此一定存在某一个频率fa或a，即k=ka=a/c时，使得:基波解！即:当k=ka时，薄长片压电振子的等效导纳为零，等效阻抗为无限大；通过压电振子的电流等于零。导纳：其中：为分路电容为分路阻抗为动态阻抗分路电容在谐振频率附件展开分路阻抗Z1可以得到：动态阻抗无损耗时压电振子的等效电路（谐振频率附近）有损耗时压电振子的等效电路（谐振频率附近）等效电路参数为：其中:Qm为机械品质因子。 MechanicalQualityfactor等效电路成立的条件：谐振频率附近！等效网络方法

Equivalentcircuitmethod

基本概念:机电类比和传输方程例子:薄长片压电振子的等效网络机电类比

某机械振动系统，如图所示，其中质量为m，弹性常数为K，阻力为RmU，振动速度为U。若外界的作用力为F，则此系统的运动方程式为：

机械振动系统或:对于正弦运动:某LC串联电路，如图所示，其中电感为L，电容为C，电阻为R，电流为I。若外加电压为V，则有：对于正弦电流I=I0ejt，代入上式可得:如果为LC并联电路，如图所示，则有

对于正弦电流V=V0ejt，代入上式后可得:LC并联电路LC串联电路机械振动比较以上三式，可得机电类比如表5-1所示。表5-1机械量与电学量类比机械量电学量一类（串联）二类（并联）力F电压V电流I速度U电流I电压V质量m电感L电容C力阻Rm电阻R电导1/R力顺1/K电容C电感L机械阻抗Zm阻抗Ze导纳Ge线性机电网络

电学四端网络:如图5-15所示的四端网络，选电流I1、I2为自变量，电压V1、V2为因变量，它的传输方程：（5-90）式中：Z11=(V1/I1)I2=0为输出端开路时的输入电阻；Z12=(V1/I2)I1=0为输入端开路时的反向转移阻抗；Z21=(V2/I1)I2=0为输出端开路时的正向转移阻抗；Z22=(V2/I2)I1=0为输入端开路时的输出电阻。

例如图5-16所示的T型四端网络，它的传输方程为：（5-91）机械四端网络:如图5-17所示的机械四端网络，选速度U1、U2为自变量，力F1、F2为因变量，它的传输方程：

（5-92）式中：Zm11=(F1/U1)u2=0为输出端开路(即夹持)时的输入机械阻抗；Zm12=(F1/U2)u1=0为输入端开路(即夹持)时的反向转移机械阻抗；Zm21=(F2/U1)u2=0为输出端开路(即夹持)时的正向转移机械阻抗；Zm22=(F2/U2)u1=0为输入端开路(即夹持)时的输出机械阻抗。

例如图5-18所示的T型机械四端网络，它的传输方程为：

（5-93）机电四端网络:如图5-19所示的机电四端网络，选电流I和速度U为自变量，电压V和力F为因变量，它的传输方程：（5-94）式中：Ze=(V/I)u=0为机械端开路（即夹持）时的电学端输入阻抗；Zem=(V/U)I=0为电学端开路时的变换参数；Zme=(F/I)u=0为机械端开路（即夹持）时的变换参数；Zm=(F/U)I=0为电学端开路时力学端的输出机械阻抗。若选V、U为自变量，则由（5-94）式可得另一组传输方程:（5-95）例如图5-20所示的机电四端网络，它的传输方程为:

（5-96）将（5-96）式与（5-95）式比较，即得机电变压器的转换系数N为:

（5-97）机电六端网络:如图5-21所示的机电六端网络，选速度U1、U2和电流I为自变量，力F1、F2和电压V为因变量，它的传输方程：

（5-98）式中：Zm11=(F1/U1)U2=0,I=0为电学端开路和力学2端开路（即夹持）时力学1端的输出机械阻抗；Zm12=(F1/U2)U1=0,I=0为电学端开路和力学1端开路（即夹持）时的转移机械阻抗；Zme1=(F1/I)U1=0,U2=0为力学1端开路和力学2端开路时的变换参数。其余的系数与此情况类似，故从略。电学端开路和力学2端开路（即夹持）时力学1端的输出机械阻抗；电学端开路和力学1端开路（即夹持）时的转移机械阻抗力学1端开路和力学2端开路时的变换参数。若选V、U1、U2为自变量，则由（5-98）式可得到另一组传输方程:

（5-99）例如图5-22所示的机电六端网络，它的传输方程为:(5-100)机电变压器的转换系数N为:薄长片压电振子的等效网络方法牛顿定律压电方程波动方程边界条件质点位移电位移、应力、应变电流、力、速度机电等效网络压电振子的等效网络方法导纳或者阻抗分析后，得到传输方程:薄长片压电振子的机电变压器的转换系数N为:根据传输方程可以画出薄长片压电振子的Mason等效网络其中：在谐振频率附近，两端机械自由情况下，可以得到与前面的振动模式分析的结果相同。振动模式分析的意义：（1）材料参数的测量方式，材料参数和器件参数的关系；（2）等效电路和机电等效网络；（3）节点的位置确定谐振器的支架的位置。常见压电石英振子的振动模式长度伸缩振动：弯曲振动：宽度弯曲振动、厚度弯曲振动切变振动：面切变振动、厚度切变振动能陷振动模式：厚度振动长度伸缩振动longitudinalextensionmode长度伸缩振动石英谐振器常用切型有：(xyt)，

=0、+5、+18.5切；NT切；y切棒等。(xyt)切晶片，电极在x方向，沿y方向伸缩振动；石英晶体的压电应力常数e（单位：C/m2）库伦/平方米主轴坐标系弹性顺服（柔顺）常数，主轴坐标系长度伸缩振动的频率方程：沿x方向加电压，会诱发很多的振动模式：沿长、宽、厚的伸缩振动，宽厚方向的面切变振动。压电常数d14比较大；容易诱发面切变振动！压电常数d13比较小；宽度比长度小；不容易诱发宽度伸缩动。弹性常数s44也不小沿x方向加电压；还可能产生4方向（yz面，电极面）的的切变振动！长度伸缩振动的频率方程：面切变缩振动的频率方程：长度伸缩振动模式与面切变缩振动模式会产生耦合！面切变振动shearmode或者：轮廓切变模式yzd140节点在中心当压电片做面切变振动模式时，其主平面的一条对角线伸长，另一条对角线缩短，对角线中点为节点。对石英晶体来说，面切变的常用切型为CT切型和DT切型,它们的切型符号为：yxl。在CT切型中=3738，即：yxl37；在DT切型中=-52-53，即：yxl-52。CT切型DT切型

沿y方向加电压，会诱发两个切变振动模式：沿长宽（xz:5）方向的面切变振动;以及沿长厚（xy:6）方向的厚度切变振动。厚度切变振动模式CT切型：(yxl)37；DT切型：(yxl)-52面切变缩振动的频率方程：厚度切变振动的频率方程：弯曲振动bendingmodes振子尺寸大、谐振频率低、容易加工；主要有宽度弯曲和厚度弯曲振动两种模式；主要切型有:(xyt)，=0+5切型；(xytl)/，=08.5，=3870的NT切型。lengthwidththickness电极分割线宽度弯曲振动模式电极分割法电极分割法和宽度弯曲振动模式石英晶体宽度弯曲振动的频率方程：其中：w为晶片宽度，l为晶片长度。马蹄形振子的宽度弯曲振动：谐振频率与环的宽度成正比，而环周长的平方成反比，可以通过改变槽口的大小来调整谐振频率。马蹄形谐振子厚度弯曲振动模式双晶片厚度弯曲振动模式；单片厚度弯曲振动模式；石英音叉；串联型（左）并联型（右）双晶片厚度弯曲压电振子切型：(xyt)频率方程：其中：Nlt频率常数;t:厚度;l:长度两片晶片胶粘在一起！单片厚度弯曲振动模式：避免了胶粘层的影响！石英晶体(xyt)切厚度弯曲模振子电极配置单片厚度弯曲模振动示意图常用切型：

(xyt)(=05)习惯称为xy’棒，适用频率：50KHz以下石英音叉：一端固定，另一端自由的弯曲振动！(xyt)切型音叉的电极配置NT切型音叉的电极配置常用切型：NT切，(xyt)切频率方程：能陷（能阱）模式energy-trapmodes采用厚度伸缩或者厚度切变（剪切）振动模式可以制成频率达到数十兆赫兹（107Hz）的振子。但是来源于径向或者纵向振动的高次泛音所形成的杂波干扰大。消除干扰的方法：调整振子几何尺寸；能陷模式能陷模式实际上是：厚度伸缩、厚度切变、厚度扭曲振动模式；只是振子电极面远小于压电晶片的总面积，且与厚度有适宜的匹配关系。振动能量绝大部分集中在点电极范围内，形成“能量封闭”的振动模式。在交变电场作用下，