振动力学2简谐振动

第二章单自由度系统的自由振动§2.1简谐振动§2.3瑞利法

§2.2能量法§2.4

等效刚度系数§2.5有阻尼系统的自由振动自由振动—受初始扰动激发所致振动，没有

外界能量补充。无阻尼自由振动—保守系统，机械能守恒，动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不存在，但可作为某些振动的近似处理。（有）阻尼自由振动—非保守系统，衰减，本章讨论单自由度的自由振动。§2.1线性系统的自由振动我们看一个简单的振动模型xxF＝＋kx0弹簧质量系统在光滑平面上的振动。其中k——刚性系数（产生单位位移所需的力）。加负号是因为：弹性恢复力永远与位移x方向相反。（始终指向静平衡位置）弹簧质量不计；质体m当作刚体（或一个质点）；并假设弹簧的恢复力与变形成正比，即：F＝－kx〔注：k的单位N/m〕或写成：其中常数C1

，C2由初始条件确定。这里令

上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：由牛顿第二定律：设：当t＝0时∴

〔注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。〕把初始条件代入上式，可得其中讨论：

1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其振幅A和初相位φ由初始条件决定。从这里可以看到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或初速度v0或两者都有才有振动x＝Asin(ωnt＋φ)，否则x＝0，——无振动（弧度/秒）

2、自由振动的圆频率（或角频率）

频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无关）故把ωn称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。

固有频率的求法：

a、

b、

其中

——静伸长（cm）

g——重力加速度（cm/s2）

Pδc

k

固有（自然）频率及周期为

在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象为上述单自由度质量-弹簧系统，而具有相同的动力学方程和运动规律，书上有些具体例子。

例2.1-1均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率.lmy解：由材料力学知：悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有物体的振动方程：固有频率：对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：

2.2

能量法U——系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作功而产生的重力势能。

将具体能量代入（2）式，化简后可得保守系统的振动微分方程。（1）式对时间求导：

（1）其中T——系统中运动质量所具有的动能

（2）

我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势能为零，而动能达到最大值Tmax；

Tmax＝Umax

(2)对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有频率，有时更为方便。当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，即动能为零，但势能达到最大值Umax，我们取之为第二瞬时位置。由（1）式得：Tmax＋0＝0＋Umax，即：例2.2-1一半径r重W的圆柱体在一个半径为R的圆柱面内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处O左右微幅摆动为简谐振动，求摆动固有频率。

转动时，圆柱体绕质心轴转动，由于无滑动，角速度为：

〔注：）解：设θ为坐标，圆柱体同时作两种运动——移动和转动。移动时，圆柱体质心线位移为0θ0′φrR(R-r)线速度为

任一瞬时位置，圆柱体动能为：

由

〔注：

为圆柱体绕质心的转动惯量〕

圆柱体的势能以最低位置O为零，在转角为θ的瞬时，圆柱体质心升高为(R－r)(1-cosθ),则U＝w(R-r)(1-cosθ)

得：

对于任一瞬时若

，则对应无摆动，不是我们所求的。于是必有括号内部分为零，又因微摆动，sinθ≈θ，故有解（2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率ωn，则设

在最低点O处势能为零，动能最大

则

在摆动到θmax位置时动能为零，势能最大

由Tmax＝Umax

有：

于是

则

例2.2-2杆AB是无质量刚性杆，静平衡时水平，又知k0及尺寸a，l，质量块m，求振动微分方程及周期。

解法：设刚性杆，向下有微小转角φ时，弹簧伸长aφ,质量块的位移：

lφ系统的动能：

系统的势能：

由

mBk0alφ质量块的速度：

得

2.3瑞利法前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量较大，忽略它会导致频率偏高。瑞利提出，用能量法对分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的频率。具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，计算其动能和势能，利用能量法，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方法称作瑞利法。计算弹簧的等效质量

设弹簧的长度为l，假定弹簧的变形与离固定点其中m1=ρl为弹簧质量，则系统总动能为：单位长度质量为ρ，的距离ξ成正比，弹簧端点的位移为x。整个弹簧的动能T1：微元长度dξ的动能：我们将弹簧的1/3质量定义为弹簧的等效质量。弹簧的势能与忽略弹簧质量的情形一样：由也可导出固有频率。或设简谐振动：2.4等效刚性系数弹簧刚度系数就是使弹簧产生变形所需要的力或力矩研究的振动方向不同，刚度系数也不同

B点沿x方向施加力F，位移xB，则等效刚度：

任何弹性体都可以看成弹簧

设指定方向的位移为x，所施加的力为F，则等效刚度系数：B点沿y方向施加力P，位移yB，则B点沿y方向的等效刚度：

亦称梁的弯曲刚度

B点绕x轴转动方向施加扭矩M，轴产生转角θ，则B端：B点绕x轴转动方向的等效刚度：

亦称轴的扭转刚度

几个弹性元件联合使用时的等效刚度：固有频率

（等效刚度）

Pk1

k2

两弹簧串联

n个弹簧串联

两弹簧并联(两弹簧伸长相同)解：重量P分配在两个弹簧上，分别为P1，P2，则

等效刚度n个弹簧并联：Pk1

k2

前面讲的无阻尼自由振动是一种理想状态，按照阻尼为零的假设，遵循机械能守恒定律，振动中没有能量消耗，因而可以无休止地振动下去。但事实上阻尼总是存在的，它使振动能量不断减少，于是自由振动逐渐衰减直至停止。我们首先讲阻尼的类型。

一、阻尼的分类

2.5有阻尼系统的自由振动1、粘性阻尼

2、材料阻尼

3、干摩擦阻尼

1、粘性阻尼

其中c——粘性阻尼系数

当质量在磁场或流体质中振动时，阻尼力一般表现速度的函数：

若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以认为阻尼与速度成正比，即：

这种阻尼(由于阻尼力与速度成正比)又称为线性阻尼（这种阻尼与介质的粘性有关，故称为粘性阻尼）。它使计算大为简化,我们将着重研究这种情况，对于非粘性阻尼也得引进等效粘性阻尼系数计算。

2、材料阻尼

又称为结构阻尼。在振动过程中物体结构材料本身的内摩擦而引起的阻力。在完全弹性材料内，应变与应力的相位相同，所以在反复受力过程中没有能量损失。而粘弹性材料内，应变滞后于

这就是通常说的摩擦力，出现在干摩擦之间。按库仑摩擦定律：R＝μN其中μ——摩擦系数，由接触面的材料和粗糙程度决定。3、干摩擦阻尼

0δε加载卸载应力，在反复受力过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，而成为振动的阻尼。二、阻尼振动微分方程

令

按牛顿第二定律：

则得标准型单自由度阻尼自由振动的微分方程

（1）

ζ——阻尼比（无量纲数）其中c——阻尼系数（单位：N·s/m）

xkc0mkx

现在求解方程（1），这是一个二阶常系数齐次微分方程。下面求出方程的通解。

我们先设x=ept

（p——常数）

那么，

代入方程（1）得：

但ept≠0，故有：（2）——特征方程

可见，若p是二次代数方程（2）的一个根，则ept能使微分方程（1）满足，也就是说，是它的一个特解。代数方程（2）叫做微分方程（1）的特征方程。

特征方程（2）的两个根是：

可能有三种情况，我们分别讨论之。

ωd是阻尼自由振动的角频率。

1、当（欠阻尼状态），得两个复数根：

因此，微分方程（1）的两个特解是

由线性齐次微分方程的性质，x1与x2的线性组合也是方程（1）的解，故

〔注：做此变换的目的是把微分方程的解写成实数形式〕

这里，我们利用了欧拉公式

很容易看出x1′与x2′线性无关，由齐次线性微分方程通解定律，x1′与x2′的线性组合即方程（1）的通解，故：

（3）

（3）

其中C，D为待定常数，由初始条件给出

（3）式即单自由度系统有阻尼振动的位移通解。

（3′）

其中

（3′）是有阻尼振动的位移通解另一种形式。

其振幅随着时间t的增长而衰减。A1A2A3Tdtx由于阻尼的存在对于小阻尼，周期略有增大为了表示振幅衰减的快慢，取任意两个相邻振幅之比

A1A2A3Tdtx以初始条件代入，得

2、当

(临界阻尼状态)，得两个相同的实根：p1=p2=-ωn

，即方程之解为：

0tx这是一个单调衰减运动（随着t增大，x越来越小，趋于零），右图是不同初始条件下的位移时程图。