山东省烟台市海阳育才中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省烟台市海阳育才中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数图像上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.若集合,B=,则A∩B=（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A3.

在复平面内，复数对应的点位于

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：D4.设，变量x，y满足条件，则z的最小值为（

）A．2

B．4

C．8

D．16参考答案：C5.已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+3f（﹣x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的最小值为(

)A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．参考答案：C【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设x∈[﹣4，﹣2]，则x+4∈[0，2]，再根据题意可得f（x）=f（x+4）=，由此求得它的最小值．【解答】解：设x∈[﹣4，﹣2]，则x+4∈[0，2]．∵y=f（x）是奇函数，则由f（x+2）+3f（﹣x）=0，可得f（x+2）=﹣3f（﹣x）=3f（x），∴f（x+4）=3f（x+2），故有f（x）=f（x+2）=．故f（x）=f（x+4）=[（x+4）2﹣2（x+4）]=[x2﹣6x+8]=，故当x=3时，函数f（x）取得最小值为﹣，故选：C．【点评】本题主要考查求函数的解析式，二次函数在闭区间上的最值，得到f（x）=f（x+4），是解题的关键，属于中档题．6.已知函数f（x）=，若f（a）=0，则实数a的值等于(

)A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3参考答案：C【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：当a＞0时，f（a）=lga=0，∴a=1；当a≤0时，f（a）=a+3=0，∴a=﹣3，综上，a=1或﹣3．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，比较基础．7.设为随机变量，～，若的方差为则等于

参考答案：D略8.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（

）A.

B.

C.0

D.1参考答案：A，要使复数是纯虚数，则有且，解得，选A.9.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），则f（5）＝

（A）0

（B）1

（C）

（D）5

参考答案：C略10.设整数,集合.令集合

若和都在中,则下列选项正确的是(

)A.,

B．,

C．,

D．,参考答案：B特殊值法,不妨令,,则,,故选B．如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设在,则展开式中的系数为_________.参考答案：－8【分析】利用定积分的公式求出，然后利用二项式的展开式的通项公式，求出展开式中的系数.【详解】，的通项公式为，当时，，当时，，故展开式中的系数为.【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理，正确求出值，是解题的关键.12.函数的反函数是_____________.参考答案：13.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则椭圆上一点P与直线上一点Q的“折线距离”的最小值为___________．参考答案：14.将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有

种（用数字作答）参考答案：144015.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为_______．参考答案：【分析】推导出a1＝1，a2＝2×1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出数列{an}的通项公式．【详解】∵数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2时，22n﹣2，∴数列{an}的通项公式为．故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．

16.如下左图所示，曲线y=x2-1及x轴围成图形的面积S为

.

参考答案：17.已知，则不等式的解集是_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）求a的值，并计算所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

文科生理科生合计获奖5

不获奖

合计

200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）利用频率和为1，求a的值，利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，计算所抽取样本的平均值；（2）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）a=[1﹣（0.01+0.015+0.03+0.015+0.005）×10]÷10=0.025，=45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.15+95×0.05=69．…（2）

文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200…k==≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．…19.在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：﹣y2=1（a＞0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为，且经过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A、B两点．（1）求双曲线E的方程；（2）求△ABF1的面积的取值范围．参考答案：【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用双曲线E：﹣y2=1（a＞0）的离心率为，求双曲线E的方程；（2）设直线方程为x=my+2（m≠0），代入﹣y2=1，整理可得（m2﹣3）y2+4my+1=0，利用韦达定理，表示出=×|y1﹣y2|，即可求得△ABF1面积的取值范围．【解答】解：（1）∵双曲线E：﹣y2=1（a＞0）的离心率为，∴=，∴a=，∴双曲线E的方程为﹣y2=1；（2）设直线方程为x=my+2（m≠0），代入﹣y2=1，整理可得（m2﹣3）y2+4my+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∴|y1﹣y2|=∴=×|y1﹣y2|=设m2﹣3=t，则t＞﹣3且t≠0，∴=≥．20.1（本小题满分12分）已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.参考答案：综上可得，的最小值为5。从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为(-，5].………………12分解法二：（1）同解法一.………………６分（2）当时，。设.由（当且仅当时等号成立）得，的最小值为5.从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为(-，5].……12分略21.（本题满分14分）已知，函数，其中．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）在函数的图像上取点，记线段PnPn+1的斜率为kn，．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）；

（ⅱ）．参考答案：（Ⅰ）时，，求导可得

……………3分所以，在单调递增，故的最小值是．…………5分（Ⅱ）依题意，．

……………6分（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取，则当时，即．于是，即知．…………8分

所以．

……………9分

（ⅱ）取，则，求导可得当时，，故在单调递减．所以，时，，即．……………12分注意到，对任意正整数，，于是，即知．……………13分所以

．

……………14分22.如图，四棱锥P－ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是AB，BC的中点N在轴上（I）求证：PF⊥FD；（II）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；（III）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值。

参考答案：（Ⅰ）连接AF，则AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

……………4分（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．再过点H作H