山东省烟台市牟平县龙泉镇职业高级中学2023年高二数学文月考试题含解析

山东省烟台市牟平县龙泉镇职业高级中学2023年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（

）A．或

B．或C．或

D．或参考答案：D2.在平行四边形中，为一条对角线，

(

)A．（2，4）

B．（3，5）

C．（—2，—4）

D．（—1，—1）参考答案：D3.设a＞0，b＞0则下列不等中不恒成立的是(

) A．a+≥2 B．a2+b2≥2（a+b﹣1） C．≥﹣ D．a3+b3≥2ab2参考答案：D考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质可得A、B、C正确，通过举反例求得D不正确，从而的互结论．解答： 解：由条件a＞0，b＞0，利用基本不等式可得a+≥2，故A正确．根据a2+b2﹣2（a+b﹣1）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，可得B正确．当a=b时，C成立；当a＜b时，C显然成立．当a＞b时，C等价于a﹣b≥a+b﹣2，等价于≥b，等价于ab＞b2，显然成立．故C恒成立．当a=2、b=3时，a3+b3=35，2ab2=36，故此时D不成立，故D不正确．故选：D．点评：本题主要考查不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．4.某班有学生60人，现将所有学生按1,2,3,…,60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为2,32,47号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（

）A.27

B.22

C.17

D.12参考答案：C5.已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由导数的几何意义可求曲线y=x3在（1，1）处的切线斜率k，然后根据直线垂直的条件可求的值【解答】解：设曲线y=x3在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=3因为直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直所以故选D6.若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.已知点、,直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（

）（A）或（B）或（C）（D）参考答案：A略8.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）

4

2

3

5销售额（万元）

23

13

20

32根据上表可得回归方程中的为6，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（

）

A．36．6万元

B．36．8万元

C．37万元

D．37．2万元参考答案：C略9.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石参考答案：B【考点】BF：随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．10.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（）

A．60°

B．75°

C．90°

D．120°参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程的解所在的区间是,则整数

．参考答案：212.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣2，）【考点】圆的一般方程．【分析】利用圆的一般式方程，D2+E2﹣4F＞0即可求出a的范围．【解答】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，所以D2+E2﹣4F＞0即a2+（2a）2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，∴3a2+4a﹣4＜0，解得a的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．【点评】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．13.在△ABC中，AB＝3，BC＝5，CA＝7，点D是边AC上的点，且AD＝DC，则·＝________.参考答案：-14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2，则极点在直线l上的射影的极坐标是

.参考答案：极点在直线上的射影是直线上取得最小值的点,把变形为,可知,当时,取得最小值2.15.椭圆+=1内一点P（4，2），过点P的弦AB恰好被点P平分，则直线AB的方程为．参考答案：x+2y﹣8=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得由中点坐标公式可得4=，=2，又kAB=．将A，B坐标代入椭圆方程，相减即可得到直线AB的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由中点坐标公式可得，4=，=2，又kAB=．∵+=1，+=1．∴两式相减可得，+=0．∴+=0，解得kAB=﹣．∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣4），化为x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣4=0．16.对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）.现有数列满足如下两个条件：（1）数列为上凸数列，且；（2）对正整数（），都有，其中.则数列中的第五项的取值范围为__________．参考答案：略17.若关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[，e]上有两个不等实根，则实数k的取值范围是．参考答案：（1，1+]【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】分类参数可得k=lnx+，判断f（x）=lnx+在[，e]上的单调性和极值，根据解得个数得出k的范围．【解答】解：由xlnx﹣kx+1=0得k=lnx+，令f（x）=lnx+，则f′（x）==．∴当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当1＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，又f（）=﹣1+e，f（e）=1+．∴f（e）＜f（）．∵关于x的方程xlnx﹣kx+1=0在区间[，e]上有两个不等实根，∴f（x）=k有两解，∴1＜k≤1+．故答案为：（1，1+]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

参考答案：解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为轴建立直角坐标系则

设抛物线的方程为，将点代入得

所以抛物线弧AB方程为（）（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过的切线的斜率为

所以切线的方程为：，即

令，得，

令，得，所以梯形面积

当仅当，即时，成立

此时下底边长为

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．

解法二：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为，

联立，得，

令，得，或（舍），

故此腰所在直线方程为，

令，得，

故等腰梯形的面积：当且仅当，即时，有

此时，下底边长

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．19.在数列中，，，，，，．（Ⅰ）计算，，的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．参考答案：（Ⅰ），，；（Ⅱ）（Ⅰ）∵，，∴当时，，时，，时，．（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想，．证明：当时，，满足，假设时成立，则有，，令，则也满足．∴，．20.已知。（1）若不等式恒成立，求的取值范围；（2）令n是正整数；①写出函数的表达式，由此猜想(n∈N)的表达式；②用数学归纳法证明你的结论。

参考答案：∵不等式恒成立，∴，∴…………5分（2）∴…………6分猜想…………8分证明：（1）n=1时，，∴猜想成立；…………9分（2）设n=k时结论成立即：；n=k+1时有：∴n=k+1时结论成立；11分，综上（1）（2）对任意正整数成立。12分略21.要使函数y=1+2x+4x·a在(-∞,1)上y＞0恒成立,求a的取值范围.参考答案：把1+2x+4x·a＞0在(-∞,1)上恒成立问题,分离参数后等价转化为a＞-()x-()x在(-∞,1)上恒成立,而-()x-()x为增函数,其最大值为-,可得a＞-.解:由1+2x+4x·a＞0在x∈(-∞,1)上恒成立,即a＞-=-()x-()x在(-∞,1)上恒成立.又g(x)=-()x-()x在(-∞,1)上的值域为(-∞,-),∴a＞-.评述:(1)分离参数构造函数问题是数学中解决问题的通性通法.(2)恒成立问题可化归为研究函数的最大(或最小)值问题.22.（1）求证：；（2）设a，b均为正实数，求证：.参考答案：(1)详见解析；(2)详见解析【分析】(1)本题可通过对不等式两边同时平方并化简即可得出结果；(2)本题首先