传热学第二章 稳态热传导

1、重点内容：

①傅里叶定律及其应用；

②导热系数及其影响因素；

③导热问题的数学模型。

2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法；

3、了解内容：多维及具有内热源的导热问题。

定性—导热基本概念，傅里叶定律定量—温度场求解，导热量计算

第二章稳态热传导基本要求：

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解§2-1导热基本定律-傅里叶定律§2-5具有内热源的一维导热问题§2-4通过肋片的导热§2-2导热问题的数学描写§2-6多维稳态导热的求解★★★★§2-1导热基本定律——傅里叶定律回顾定义一、温度场第一章中

（1-2）

的适用条件为一维均匀导热问题，如图

0xtΦ

ｄｔ/dx

t(x)t(x,τ)试问：如图

，

式（1-2）可用吗?（多维）

0yx不能！因为t同时在x、y方向变化，

变化（在x方向上）

温度场、等温线概念

（2-1）

（2-2）

变化（在y方向上）

温度场Temperaturefield：各时刻物体中各点温度所组成的集合

----------温度分布

物体中任一点温度

若

，则为稳态温度场若

，则为非稳态温度场平行平面间的温度场

一维温度场对应

非稳态导热非稳态温度场

稳态导热稳态温度场

tt-Δtt+Δt引入温度变化率：傅里叶定律为

，

，

（在x方向传导的热量，在y方向上亦类似

)

（2-3）

（2-4）

0yx二、向量形式的傅里叶定律１、温度梯度如图，等温面（

，

，

）

梯度指向量变化最剧烈方向，法向方向，则温度梯度为在空间坐标，则q=?2、傅里叶定律的向量表达式

（2-5）

热流密度矢量可见：（1）热流方向同温度梯度方向相反；（2）热流线（方向）垂直于等温线。见图

说明注：傅里叶定律只适用于各向同性材料

各向同性材料：导热系数在各个方向是相同的三、导热系数（一）导热系数实际值由专门实验测定（二）其定义式由傅里叶定律的数学式给出，

（2-6）

影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等.数值上就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量。不同物质导热系数的差异：构造差别、导热机理不同1、气体的导热系数气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递气体分子运动理论：常温常压下气体导热系数可表示为：除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa~2.0*103MPa范围内，气体的导热系数基本不随压力变化：气体分子运动的均方根速度气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高而增大。气体的导热系数随温度升高而增大：气体分子在两次碰撞间平均自由行程：气体的密度；：气体的定容比热气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。混合气体导热系数不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定分子质量小的气体（H2、He）导热系数较大—分子运动速度高。温度对气体导热系数的影响2、液体的导热系数液体的导热：主要依靠晶格的振动晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点阵，即所谓晶格.大多数液体（分子量M不变）：液体的导热系数随压力p的升高而增大水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下，导热系数随温度的变化规律不一样3、固体的导热系数纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动

主要依靠前者金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：(1)金属的导热系数：—T↑晶格振动的加强干扰自由电子运动合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，干扰自由电子的运动金属的加工过程也会造成晶格的缺陷合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动；

主要依靠后者温度↑、晶格振动↑、导热↑如常温下：黄铜：70%Cu,30%Zn非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小建筑隔热保温材料：(2)非金属的导热系数：大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构多孔材料的导热系数与密度和湿度有关保温材料：1992年国家标准规定，温度低于350度时导热系数小于0.12W/(m·K)的材料（绝热材料）80年代0.14；50年代0.23（三）导热系数同温度的关系（1）与有关！为某温度下的常用材料的见附录2~11

（2）具有线性关系常用保温、隔热材料的

值见附录4

（四）同空间方向的关系各向同性材料（恒同）

各向异性材料，

例：枕木，垂直木纹方向平行木纹方向P557

附录3松木有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化——各向异性材料各向异性材料中：§

2-2导热问题的数学描写

（一）一维导热积分λ为常数时一、导热微分方程（二）多维导热

，

，

，即t在x，y，z，方向均有变化，且随时间变化如图：在物体内取一微元平行六面体，

设物体各向同性。

存在6gradt？Φ或q？t=f（x,y,z,τ）？傅里叶定律+热力学第一定律非稳态时热力学能（内能）增量：内热源生成热：6内热源：例如电器及线圈中有电流通过时的发热，化工中的放热、吸热反应以及核能装置中燃料元件的放射反应等。

w/m3在x、y、z方向上，

流入热流量：

（a）

流出热流量：

同理：

（b）

非稳态时热力学能（内能）增量：内热源生成热：（d）

（e）

根据热平衡方程（热力学第一定律）（2-7）

式（a）（b）（d）（e）代入（c）并整理流入的总热流量+内热源生成的热量

=内能增量+流出的总热流量（C）++=ΔU导入微元体的净热流内热源生成热（2-8）

式中，定义

热扩散率（导温系数）

a的物理意义：反映物体导热时使内部温度趋向均匀的能力大小a↑→内部温度变化得越快

式（2-8）为常物性、非稳态、有内热源的导热微分方程式一般形式的导热微分方程式（三）导热微分方程式的几种形式1、导热系数λ=const2、导热系数为常数，无内热源：

3、常物性、稳态：

4、常物性、无内热源、稳态：（2-9）

（2-10）

（2-11）

（五）圆柱坐标或球坐标中的导热微分方程式

针对式（2-7），转换成圆柱坐标（对于轴对称物体）：（2-12）

球坐标（适用于点对称物体）：（2-13）

注：（1）无内热源、稳态导热，令，即可。（2）无内热源的稳态一维、二维导热，再令（或）导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程，是通用表达式。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件。二、定解条件（2-7）

——通解定解？包括四项：几何、物理、初始、边界1、几何条件：2、物理条件：3、初始条件：４、边界条件:完整数学描述：导热微分方程+单值性条件说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。说明导热体的物理特征如：物性参数、c和的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布。又称时间条件，反映导热系统的初始状态。

反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。（Boundaryconditions）边界条件常见的有三类（１）第一类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度分布，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值tw=常量

t=f(y,z,τ)

0x1x

（2）第二类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值qw=常量0x1x

（3）第三类边界条件:该条件是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值0x1x

导热微分方程＋单值性条件＋求解方法温度场（2-17）（4）辐射边界条件（2-19）(5)接触边界条件.

数学表达形式：导热微分方程式（λ为常数）非稳态、无内热源：

稳态、有内热源：

稳态、无内热源：（2-9）

（2-10）

（2-11）

一般形式：

（2-8）

§2-3典型一维稳态导热问题的分析解（2-7）

导热微分方程式（λ为变量）（一）单层平壁的导热a几何条件：单层平板；

b物理条件：、c、（常数）

已知；无内热源

c时间条件：

d边界条件：第一类一、通过平壁的导热1、求温度分布

dx根据上面的条件可得：第一类边条：微分方程边界条件导热微分方程＋单值性条件＋求解方法温度场直接积分，得其温度分布通解：带入边界条件：求解方法得温度分布：

呈线性分布

若

由ot1tt22、求热流密度

根据傅里叶定律对式

求导：∴

（2-21）

（2-20）3、导热热阻定义面积热阻：

（2-23）

——热阻对于研究多层平壁导热问题很有用（二）通过多层平壁的导热（为常数）1、以三层为例：

a)求导热量：（，，材料，尺寸）

，

，

则

∴（2-24）

n层：（2-25）

δ1λ1δ2λ2δ3λ3b)求界面温度

，

又

注意：（a）每层线性分布，t—x

（b）每层线性分布之斜率不一定相同

（2-26）

2、对于多层平壁（设n层）则

问：现在已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：第二层：第i层：

导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之间的接触都不可能是紧密的。t1t2Δtxt在这种情况下，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，在不接触处存在空隙。热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻。

接触热阻是普遍存在的，而目前对其研究又不充分，往往采用一些实际测定的经验数据。通常，对于导热系数较小的多层壁导热问题接触热阻多不予考虑；但是对于金属材料之间的接触热阻就是不容忽视的问题。【例】锅炉炉墙由三层材料组成：内层为耐火砖，厚度为230mm，导热系数为1.1W/(m·K)；中间层为石棉隔热层，厚度为60mm，导热系数为0.1W/(m·K)；外层为红砖，厚度位240mm，导热系数为0.58W/(m·K)。已知炉墙内外表面的温度分别为500℃和50℃，试求通过炉墙的热流密度与各层接触面处的温度。解：由q＝Δt/Σ(RAi)＝(t1-t4)/(δ1/λ1+δ2/λ2+δ3/λ3）

又因：δ

1/λ1＝0.21(m2·K)/Wδ

1/λ1＝0.60(m2·K)/W

δ

1/λ1＝0.41(m2·K)/W

所以：q＝368.9W/m2由ti＝t1-qΣ(δ

i-1/λi-1)所以：t2＝t1-qΣ(δ1/λ1)＝422.5℃ t3＝t2-qΣ(δ2/λ2)＝t1-qΣ(δ1/λ1+δ2/λ2)＝201.2℃若给定的是内外两侧流体的温度及表面放热系数，则tf1h1tf2h2δ1λ1δ2λ2δ3λ3RA＝

1/h1+Σ(δi/λi)+1/h2解：为常数

如图，认为一维导热

(,)二、通过圆筒壁的导热1、条件：无内热源、稳态、

2、基本方程：（2-25）

积分一次：

再积一次：

（i）

用圆柱坐标，有导热微分方程式（2-12）

3、定解条件

边界条件

代入式（i）

于是，式（i）成为

（i）4、温度分布（2-28）

5、热流量变化（2-30）

对数分布由式（2-28），温度梯度（2-29'）

（2-29）

6、热阻

（2-31）

则：

7、多层圆筒壁的导热热流量（由多层平壁扩展来）

三层：

（2-32）平壁：一维稳态导热问题圆管：三、各向同性的变导热系数变截面的处理方法

1、一维稳态无内热源的情况

分离变量，积分：

=2无内热源，A为常数，λ不为常数λ0、b为常数最后可求得其温度分布

二次曲线方程其抛物线的凹向取决于系数b的正负。（1）当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ增大，即高温区的λ大于低温区。

据φ=-λA(dt/dx)，所以高温区的温度梯度dt/dx较小，而形成上凸的温度分布。（2）当b<0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ减小，高温区的温度梯度dt/dx较大。λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1

t20δx热流密度计算式为:或式中

从中不难看出，为平壁两表面温度下的导热系数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下的导热系数值。

3稳态、一维有内热源，λ为常数如果平壁内有均匀的内热源，且认为导热系数λ为常数和平壁两边温度相等。t1t2t1＝t2

0x

qv积分后：温度分布：讨论解如图所示：三种不同材料的平板a，b，c，左侧处于相同的温度t1，在稳定状态下，如果传递的热量相同，三种材料平板内部温度分布如图所示，则三种材料的导热系数哪个最大？哪个最小？请排列。λa

λb

λc例题２-３已知钢板、水垢及灰垢的导热系数各为46.4w/m·k、1.16w/m·k、0.116w/m·k试比较厚为1mm的三种材料的面积热阻。冷流体水从冷水泵通过管道DA段上水至锅炉，在AB段管道吸收热量变成满足热用户要求的热水，通过BC段管道送给热用户，由于长期使用，在整个管道上管内结了厚厚的一层水垢，管外落了一层厚厚的灰尘，试分析这些尘垢的利弊。自学：

三、通过球壳的导热

作业：P89-92

2-2，2-14，2-17

请认真看懂P50

：例题2-1

（单层壁）例题2-2（多层壁）例题2-3

（水垢）例题2-5

（圆管壁）§2-4通过肋片的导热基本概念

1、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面

2、常见肋片的结构：针肋直肋环肋等3、肋片导热的作用及特点1）作用：增大对流换热面积及辐射散热面积,以强化换热；方肋暖气片2）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即：Φ≠const

。

4、分析肋片导热需解决的问题

一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？

二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？

一、通过等截面直肋片的导热如图：

，，，一维导热

横截面面积：

周长：

分析：1、假设

1）肋片垂直于纸面方向(深度方向)很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析；

2）材料导热系数λ及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截面积不变；

3）表面上的换热热阻1/h，远大于肋片的导热热阻δ/λ

，即肋片上任意截面上温度均匀不变；

4）肋片顶端视为绝热，即dt/dx=0；

2、微元导热分析已经学了导热微分方程式，对流换热与导热的关系未学处理方法：将散热量认为有内热源（热源是负的）则导热类型为：一维、稳态、有内热源类型的导热问题由

（2-8）

则

（a）

，代入（a）式：

（c）

，

（d）

（2-38a）

定义过余温度为一正常数，表征肋片导热性能、换热性能及几何结构之间的相对关系。即为等截面直肋片的导热微分方程式

属二阶一次微分方程式，数学的通解

（e）

3、假设直肋端面绝热时的特解（绝热——端面同流体间无对流换热，

亦导热为0，

）边界条件

（1）

(2)

代入式（e），有

联解，得注意双曲函数

（2-39）

分析：

（1）肋端温度

（2）通过肋根的热流量（肋的散热量）

=（2-41）

（2-40）

xyoxyo1-1xyo1yOxy=coth

x4、讨论（1）以上各式是假设

，

即端面

，绝热条件下的

当δ小、H长时，以上假设可用，误差小（2），即一维假设，绝大部分肋片

引起误差（3）实际影响大的是的不均匀性（4）肋端换热的Harper-Brown近似，当必须考虑肋端面散热时，也可以采用近似修正方法，将通过肋端面的换热量折算到侧面上去，相当于肋加高为(H+ΔH)，其中对于矩形肋ΔH≈δ/2

随着mH的增大，肋片的散热量随之逐渐增加，一开始增加很迅速，但后来越来越缓慢，逐渐趋于一渐近值。这说明，增大mH虽然可以增加肋片的散热量，但增加到一定程度后，再增大mH所产生的效果已不显著，因此需要考虑经济性问题。温度计套管测温误差分析

压气机设备的储气筒里的空气温度，用一支插入装油的套管中的玻璃水银温度计来测量。如图所示。已知温度计的读数为t，储气筒与温度计套管连接处的温度，套管高H，壁厚δ管材的导热系数为λ，套管外表面传热系数为h。R3储气筒外侧与环境换热热阻R2顶部与根部导热热阻R1套筒顶部与环境换热热阻减少测量误差的措施例：一实心燃气轮机叶片，高度H=6.25mm，横截面积A＝4.65cm2，周长P＝12.2cm，导热系数＝22W/(mK