山东省聊城市高唐第二实验中学高三数学理联考试题含解析

山东省聊城市高唐第二实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C2.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是（

）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样③简单随机抽样参考答案：A略3.设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝?，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤6}

B．{a|a≤2，或a≥4}C．{a|a≤0，或a≥6}

D．{a|2≤a≤4}参考答案：C4.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C．6 D．7参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．5.函数的图像大致为（

）参考答案：【知识点】函数的图象．B8B

解析：因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A．当x=1时，y＞0，所以排除C．因为，所以当x→+∞时，y→1，所以排除D．故选B．【思路点拨】利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可．6.函数的反函数是（

）.

..

.参考答案：A略7.已知全集U为实数集R，集合N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()．

A．[－1,1]

B．(－3,1]

C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)

D．(－3，－1)参考答案：D略8.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.若定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，则不等式f（log2x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．RD．（﹣2，2）参考答案：A考点：对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，所以在[0，+∞）上单调递增，则在对称区间（﹣∞，0）上单调递减．所以f（﹣1）=f（1），所以讨论log2x在区间[0，+∞）和（﹣∞，0）两种情况，所以log2x≥0即x≥1时，为了用上函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增的条件，将原不等式变成，f（log2x）＜f（1），根据单调性，所以得到log2x＜1，x＜2，所以1≤x＜2，同样的办法，求出log2x＜0时的原不等式的解，这两种情况所得的解求并集即可．解答：解：根据已知条件知：y=f（x）在（﹣∞，0）是减函数，f（﹣1）=f（1）；∴①若log2x≥0，即x≥1，由原不等式得：f（log2x）＜f（1）；∴log2x＜1，x＜2；∴1≤x＜2；②若log2x＜0，即0＜x＜1，f（log2x）＜f（﹣1）；∴log2x＞﹣1，x；∴；综上得原不等式的解集为．故选A．点评：考查偶函数的概念，偶函数在对称区间上的单调性的特点，以及对数函数的单调性．10.设函数，已知正实数满足，则的最小值为（

）A．1

B．2

C．

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为

．参考答案：12.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则________.参考答案：13.函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：(1)在[a，b]内是单调函数；(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是

▲

(只需填符合题意的函数序号)

①；②；

③；④。参考答案：①③④①若，则由题意知，即，解得时，满足条件。②若，则由题意知，即，即是方程的两个根，由图象可知方程无解时，所以不满足条件。③若，则由题意知，即，所以只要即可，所以满足条件。④若，因为，则由题意知当时，，函数递增，当时，，函数递减。当时由得，由，解得或，所以当时，满足条件，即区间为。所以存在“和谐区间”的是①③④。14.设实数x?y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．参考答案：26考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故答案为：26点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.已知直线与曲线相切于点，则。参考答案：016.设集合，，则__________。参考答案：17.奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（3）=

．参考答案：﹣2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性、周期性即可得出．解答： 解：∵奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，∴f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，且直线与曲线相切．（I）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（II）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；（ⅱ）求证：.参考答案：解析:（1）设点为直线与曲线的切点，则有．

（*），．

（**）由（*）（**）两式，解得，．

由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．

（2）（ⅰ）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为． （ⅱ）当时，根据（1）的推导有时，，即．令，得，化简得，

即

略19.(本题满分12分）如图所示.将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上.D在AN上.且对角线MN过C点.已知AB=3米.AD=2米(I)要使花坛AMPN的面积大于32平方米.求AN长的取值范围;()若(单位：米).则当AM,AN的长度分别是多少时.花坛AMPN的面最大?并求出最大面积。参考答案：设AN的长为x米()

由于则

故SAMPN＝AN?AM＝

，

…………3分(Ⅰ)由，得，，即AN长的取值范围是.…………6分

(

Ⅱ

)令y＝，则y′＝

因为当时，y′<0，所以函数y＝在上为单调递减函数，

……9分

从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN＝3米，AM=9米

…………12分20.（本小题满分分）

已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO．

……1分O为BD中点，E为PD中点，∴EO//P

B．

……2分EO平面AEC，PB平面AEC，

……3分∴PB//平面AE

C．

（Ⅱ）

证明：PA⊥平面ABC

D．平面ABCD，∴．

……4分又在正方形ABCD中且，

……5分∴CD平面PA

D．

……6分又平面PCD，∴平面平面．

……7分（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

………8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,1,1）．

……………9分PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．设平面AEC的法向量为,,则

即

∴

∴

令,则．

………………11分∴,

…12分二面角的正弦值为

…13分

21.(本小题满分12分)已知双曲线：的焦距为，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一直线与双曲线交于，两点，使得为定值？若存在，求出此定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）；................4分（2）当直线的斜率存在时，设直线：，，代入双曲线的方程，，