山东省青岛市即墨葛村中学2023年高三数学理期末试卷含解析

山东省青岛市即墨葛村中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下四个命题中，其中真命题的个数为（）①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模拟的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1；③若数据x1，x2，x3…，xn的方差为1，则3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为3；④对分类变量x与y的随机变量的观测值k2来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】相关系数．【分析】（1）根据相关指数R2的值的性质进行判断，（2）根据线性相关性与r的关系进行判断，（3）根据方差关系进行判断，（4）根据分类变量x与y的随机变量k2的观察值的关系进行判断．【解答】解：（1）用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故（2）错误；（3）若统计数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为9，故（3）错误；（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k2来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．错误；故选：A．2.如图所示是用模拟方法估计椭圆的面积的程序框图，则图中空白框内应填入参考答案：D略3.下面四个条件中，是成立的充分而不必要的条件为（

）．A. B.C. D.参考答案：D【分析】由，求得，反之不成立，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，因为，可得成立，反之，当时，根据对数函数的性质，不一定成立，所以成立的充分而不必要的条件为．故选：D．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力．4.已知i是虚数单位，设复数，，则在复平面内对应的点在（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：D5.设函数f（x）=ax3﹣x+1（x∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[0+∞） C．[0，2] D．[1，2]参考答案：C考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：对x讨论，当x=0，当x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：aa≥﹣，设g（x）=﹣，由导数判断单调性，即可求出a≥0；x∈[﹣1，0）时，求出a≤2，由此可得a的取值范围．解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣x+1≥0可化为：a≥﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，1]上单调递增，因此g（x）max=g（1）=0，从而a≥0；当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣x+1≥0可化为：a≤﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=，g（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=2，从而a≤2，则0≤a≤2．即有实数a的取值范围为[0，2]．故选：C．点评：本题考查不等式恒成立问题的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用6.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（

）参考答案：B略7.已知为内一点，若对任意，恒有则一定是（

） A．直角三角形 B．钝角三角形

C．锐角三角形

D．不能确定参考答案：A略8.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为(A)1007

(B)1008

(C)2013

(D)2014参考答案：A9.下列四个命题中不正确的是

A.若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分B.设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分C.已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆D.已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线参考答案：DA中是双曲线去掉与X轴交点，B中的抛物线取X轴上半部分，C中符合椭圆定义是正确，D中应为双曲线一支。故选D10.已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，1）参考答案：B【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，解得：0＜x＜2，即A=（0，2）∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）∴A∪B=（﹣1，2）故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在R上有两个零点，则实数的取值范围是_______参考答案：（2-2ln2，）12.数列{an}的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第k+1个1之间有2k－1个2，即数列{an}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{an}的前n项和为Sn，则__________．（用数字作答）参考答案：3993【分析】先根据条件确定前2019项有多少个1和2，再求和得结果.【详解】第个1为数列第项，当时；当时；所以前2019项有45个1和个2，因此【点睛】本题考查数列通项与求和，考查综合分析与求解能力，属难题.13.等边△ABC的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则=

.参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案为：．【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值．

14.设,则的展开式中含项的系数是

参考答案：40略15.已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为,则此双曲线的离心率为__________.参考答案：16.已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_________．参考答案：，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为4，所以要使恒成立，所以。17.已知角的终边与函数决定的函数图象重合，则=

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且平面．（1）求证：G为SB的中点；（2）若F为SC的中点，连接GA，GC，FA，FG，平面SAB⊥平面ABCD，，求三棱锥的体积．参考答案：（1）证明见解析；（2）．（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，∵平面，平面平面，平面，∴，而为的中点，∴为的中点．（2）∵，分别为，的中点，∴，取的中点，连接，∵为等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，而，菱形的面积为，∴，∴．19.已知椭圆的右焦点在圆上，直线交椭圆于两点.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设点关于轴的对称点为，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：(Ⅰ)由题设知，圆的圆心坐标是，半径是，

故圆与轴交与两点，.-------------------------1分所以，在椭圆中或，又，所以，或(舍去，因为).---------------------3分于是，椭圆的方程为.--------------------------4分(Ⅱ)因为、

联立方程，所以，.------------------7分因为直线的方程为，令，略20.已知集合，集合.⑴当时，求；

⑵设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.参考答案：21.在数列中，已知.（Ⅰ）证明数列是等比数列,并求数列的通项公式；（Ⅱ）为数列的前项和，求的表达式.参考答案：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵,∴,∴,又,∴数列是以2为公比、以-2为首项的等比数列.∴，∴，

---------------6分

（Ⅱ）由(1)知:

，

∴,∴,

令,则,两式相减得:∴,即.

--------------13分略22.已知P-ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且，如图所示.（Ⅰ）求证：PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）以中点为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量证明平面；（Ⅱ）求出平面和平面的法向量，利用空间向量数量积，可以求出二面角的平面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）以中点为空