山东省青岛市即墨长江中学2021年高三数学文联考试卷含解析

山东省青岛市即墨长江中学2021年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象关于点对称，且当时，成立，若,则的大小关系为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知i为虚数单位，复数，，若复数z是纯虚数，则（

）A．1

B．

C．2

D．4参考答案：C，若复数是纯虚数，则，所以.所以，则.故选C.3.将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．4.已知直线与圆交于A、B两点，且，其中O为原点，则实数的值为（）A.2 B.-2 C.2或-2 D.或参考答案：C5.若定义在（0，1）上的函数f（x）满足：f（x）＞0且对任意的x∈（0，1），有f（）=2f（x）．则（）A．对任意的正数M，存在x∈（0，1），使f（x）≥MB．存在正数M，对任意的x∈（0，1），使f（x）≤MC．对任意的x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）D．对任意的x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，有f（x1）＞f（x2）参考答案：B当x∈（0，1）时，对勾函数y=x+为单调减函数，可知t（x）==在区间（0，1）上单调递增，令0＜x1＜x2＜1，则t（x1）＜t（x2），∵x∈（0，1），有f（）=2f（x），故当x→0+时，有f（0+）=2f（0+），故f（0+）=0，故不存在对任意的正数M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M，对于函数f（x）的单调性不能确定．解：当x∈（0，1）时，对勾函数y=x+为单调减函数，所以t（x）==在区间（0，1）上单调递增，令0＜x1＜x2＜1，则t（x1）＜t（x2），∵x∈（0，1），有f（）=2f（x），∴当x→0+时，有f（0+）=2f（0+），故f（0+）=0，故不存在对任意的正数M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M对于函数f（x）的单调性不能确定，故选：B6.若函数的导函数，则的单调递减区间是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.平面向量与的夹角为60°，,则等于

(

)

A． B．2 C．4 D．12参考答案：B略8.2010年上海世博会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作，每一项工作至少分一人，且甲、乙两人不能同时做同一项工作，则不同的分配种数是

（

）

A．24

B．30

C．36

D．48

参考答案：B略9.函数f（x）=的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．【解答】解：①x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0时，由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，其有（0，+∞）上有两个交点，故有两个解；则函数f（x）=的零点个数为3．故选C．10.的值为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)参考答案：60【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：.故答案为60．【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．12.函数，若互不相同，且，则的取值范围是___________;参考答案：（32，35）13.函数是定义在上的奇函数，且，对于任意，都有恒成立，则的值为

。参考答案：014.设，满足约束条件，则的取值范围是

．参考答案：[0,1]

15.如图，是圆的切线，切点为点，直线与圆交于、两点，的角平分线交弦、于、两点，已知，，则的值为

.参考答案：16.已知函数，若，则＝

参考答案：答案：或

17.写出用三段论证明为奇函数的步骤是．参考答案：满足的函数是奇函数，大前提，小前提所以是奇函数．

结论三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19.（12分）

已知函数f(x)=（k∈R）是偶函数。

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）若方程f(x)=m有解，求m的取值范围。参考答案：解析：（Ⅰ）由函数f(x)是偶函数，可知f(x)=f(—x)

∴

················2分

即：

················3分

∴log44x=-4kx

················4分

∴x=-4kx对一切x∈R恒成立

················5分

∴

··················6分

（Ⅱ）由

·················7分

得

·················8分

∵≥2

·················9分

∴≥

·················11分

故要使方程f(x)=m有解，m的取值范围为[

················12分

（写出m≥不扣分）20.（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。

参考答案：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.………3分(II)由（I）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，设平面A1BC1的法向量为，则,即，令，则，，所以.………6分同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以.

由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.………8分(III)设D是直线BC1上一点，且.所以.解得，，.所以.

由，即.解得.………11分因为，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，.………13分21.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，，的极坐标分别为，．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值．参考答案：见解析考点：极坐标方程;参数和普通方程互化（Ⅰ）将、化为直角坐标为、，

即、的直角坐标分别为、,

，∴直线的方程为，

即为.

（Ⅱ）设，它到直线距离

=，（其中）