山东省青岛市城阳第十一中学2023年高二数学文测试题含解析

山东省青岛市城阳第十一中学2023年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知随机变量服从正态分布（），且，则（

）A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.6参考答案：B2.正态分布N（1，9）在区间（2，3）和（-1，0）上取值的概率分别为m,n，则（

）A.m>n

B.m<n

C.m=n

D.不确定

参考答案：C略3.在复平面内，复数（i为虚数单位）等于A. B. C. D.参考答案：B略4.设x，y满足约束条件的最大值是A.－4 B.0 C.8 D.12参考答案：C【分析】画出约束条件所表示的可行域，由，即，把直线平移到可行域的A点时，此时目标函数取得最大值，进而求解目标函数的最大值。【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图所示，又由，即，把直线平移到可行域的A点时，此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选C。【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。5.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.的位置关系为

（

）（A）相交但不垂直

（B）平行

（C）相交且垂直

（D）不确定

参考答案：B略7.在中，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①周长为10②面积为10③中，则满足条件①、②、③的点轨迹方程按顺序分别是

A. 、、 B. 、、C. 、、 D. 、、参考答案：A8.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（

）A.①、③

B.①、④

C.②、③

D.②、④参考答案：B9.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是

（

）A.5，15

B.5，

C.5，

D.5，参考答案：C10.是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是(

)A．(－∞,－2)∪(2,+∞)

B．(－2,0)∪(0,2)

C.(－2,0)∪(2,+∞)

D．(－∞,－2)∪(0,2)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取

名学生。参考答案：6012.在椭圆C：中，当离心率e趋近于0，椭圆就趋近于圆，类比圆的面积公式，椭圆C的面积

．参考答案：

略13.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区活动，则选中的2人都是女同学的概率__________．参考答案：；【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】由古典概型的概率公式得.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14.设的共轭复数是，若，，则

．参考答案：15.某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是

．参考答案：

16.

已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于_____________.参考答案：解析：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数。令，则。由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知。

17.若复数对应的点落在直线上，则实数的值是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b； （Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得kADkBD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1． 又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3． ∴所求椭圆C的方程为：． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0， △=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2． ∴，． y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==． ∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kADkBD=﹣1，∴， ∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴． 化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，． ，且满足3+4k2﹣m2＞0． 当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾； 当m=﹣时，l：y=k，直线过定点． 综上可知，直线l过定点，定点坐标为． 【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 19.已知正项数列满足求出、、、

并推测通项公式？（不要求证明）

参考答案：解：………………2分……5分………………7分…10分由此猜测……12分略20.某同学在一次研究性学习中发现，以下5个不等关系式子①﹣1＞②＞③＞④＞⑤＞（1）上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式（2）请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明．参考答案：【考点】R6：不等式的证明；F1：归纳推理．【分析】（1）观察分析得到结论；（2）利用分析法证明即可．【解答】解：（1）（2）证明：要证原不等式，只需证因为不等式两边都大于0只需证只需证只需证a2+3a+2＞a2+3a只需证2＞0显然成立所以原不等式成立【点评】本题考查归纳推理，考查分析法的运用，属于中档题．21.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．（1）证明：面PQC⊥面DQC；（2）求面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面PQC⊥面DQC．（2）求出面PAB的法向量和平面DQC的法向量，利用向量法能求出面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设=1，则P（0，0，2），Q（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），设平面PQC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，1），设平面DQC的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，﹣1），∵=1+0﹣1=0，∴面PQC⊥面DQC．（2）A（1，0，0），B（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，1，﹣2），设面PAB的法向量=（x1，y1，z1），则，取z1=1，得=（2，0，1），平面DQC的法向量=（1，0，﹣1），设面PAB与面DQC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ===．∴面PAB与面DQC所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22.（本小题满分12分）为振兴旅游业，某省2012年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。