第六章正弦稳态电路

第6章正弦稳态电路的分析掌握正弦量的三要素及其相量表示法。能够用相量法分析和计算简单正弦交流电路。掌握正弦交流电路中功率的计算和功率因数的提高。本章学习目标正弦交流电的基本概念6.3

正弦交流电路的分析计算6.4电路的功率因数单一参数交流电路6.26.1

如果电流或电压每经过一定时间（T

）就重复变化一次，则此种电流

、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、锯齿波等。记做：u(t)=u(t+T)TutuTt§6.1正弦交流电的基本概念

如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

正弦交流电的优越性：变压方便；便于传输；有利于电器设备的运行；

.....正弦交流电路正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。

交流电路进行计算时，首先也要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反ti正弦交流电的方向iuR1.正弦波的特征量2.正弦波的相量表示方法1正弦波的特征量i

：

电流幅值（最大值）：

角频率（弧度/秒）：

初相角特征量:为正弦电流的最大值正弦波特征量之一

--幅度

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。最大值电量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im则有（均方根值）可得当

时，交流直流热效应相当电量必须大写如：U、I有效值有效值概念问题与讨论

电器~220V最高耐压

=300V

若购得一台耐压为

300V的电器，是否可用于

220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压

描述变化快慢的几种方法

1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒，毫秒..正弦波特征量之二

--角频率3.角频率

ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒2.频率

f：每秒变化的次数

单位：赫兹，千赫兹

...iT*电网频率：

中国

50Hz

美国

、日本

60Hz小常识*有线通讯频率：300-5000Hz

*无线通讯频率：

30kHz-3×104MHz正弦波特征量之三

--初相位：

t=0

时的相位，称为初相位或初相角。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i：正弦波的相位角或相位

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

t两种正弦信号的相位关系同相位

落后于相位落后相位领先领先于

三相交流电路：三种电压初相位各差120。t可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。如：结论:

因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。幅度、相位变化频率不变例幅度：已知：频率：初相位：2正弦波的相量表示方法瞬时值表达式相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图i

正弦波的表示方法：重点

概念

：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。

正弦波的相量表示法矢量长度

=

矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转ω3.相量符号

包含幅度与相位信息。有效值1.描述正弦量的有向线段称为相量

(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：最大值相量的书写方式2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：

落后于领先

落后？正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示

相位：幅度：相量大小设：同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例2：同频率正弦波相加--平行四边形法则注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。新问题提出：

平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。

相量

复数表示法复数运算复数及其运算+1jA实部a虚部b模r幅角极坐标型代数型相量的复数表示ab+1将复数放到复平面上，可如下表示：欧拉公式

代数式

指数式

极坐标形式ab

在第一象限设a、b为正实数在第二象限在第三象限在第四象限提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：例：相量的复数运算1.加、减运算设：则：ÐU=复数的加减运算用代数式2.乘法运算设：则：复数的乘除运算用极坐标式设：任一相量则：90°旋转因子:

+j逆时针转90°，-j顺时针转90°说明：复数符号法应用举例解：例1:已知瞬时值，求相量。已知:

求：

i

、u

的相量220100AV求：例2：已知相量，求瞬时值。

已知两个频率都为

1000Hz的正弦电流其相量形式为：解：波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法Ti符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”最大值

---大写+下标正误判断？瞬时值复数正误判断？瞬时值复数已知：正误判断？有效值

则：已知：正误判断？？

则：已知：？正误判断最大值§6.2单一参数的正弦交流电路1.

电阻电路2.电感电路3.电容电路1.

电阻电路uiR根据欧姆定律

设则单一参数的正弦交流电路1.频率相同2.相位相同3.

有效值关系：电阻电路中电流、电压的关系4.

相量关系：设

则

或电阻电路中的功率

uiR1）瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写1.（耗能元件）结论：2.随时间变化3.与

成比例ωtuipωt2）平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值

大写

uiR2.电感电路

基本关系式：iuL设则电感电路中电流、电压的关系

1）频率相同2）相位相差

90°

（u

领先

i

90

°）iu设：3）有效值

感抗（Ω）定义：则：4）相量关系设：则：电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息？u、i相位不一致！领先！感抗（XL=ωL

）是频率的函数，

表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。ωXLω=0时XL=0关于感抗的讨论e+_LR直流E+_R电感电路中的功率1）瞬时功率

p

：iuL储存能量P<0释放能量+P>0P<0可逆的能量转换过程uiuiuiuiiuL+PP>0ui2）平均功率

P（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。3）无功功率QQ

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。基本关系式:设：3.电容电路uiC则：

1）频率相同2）相位相差90°

（u落后

i

90°

）电容电路中电流、电压的关系iu3）有效值或

容抗（Ω）定义：则：I4)相量关系设：则：电容电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息领先！E+-ωe+-关于容抗的讨论直流

是频率的函数，

表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。容抗ω＝0时电容电路中的功率ui1）

瞬时功率

p充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量uiuiuiuiiuωt2）平均功率P瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）3）无功功率Q（电容性无功取负值）已知：C＝1μF求：I

、i例uiC解：电流有效值求电容电路中的电流瞬时值i领先于u90°电流有效值1.单一参数电路中的基本关系电路参数基本关系复阻抗L复阻抗电路参数基本关系C电路参数R基本关系复阻抗小结

在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。2.单一参数电路中复数形式的欧姆定律

电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系在电阻电路中：正误判断？？？瞬时值有效值在电感电路中：正误判断？？？？？正弦交流电路的分析计算§6.31R-L-C串联交流电路2交流电路的一般分析方法3功率因数的提高*

电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏定律。简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）uLiuRuRL*

电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏定律RL

R-L-C串联交流电路若则电流、电压的关系：uRLCi（1）总电压与总电流的关系式相量方程式：则相量模型RLC设（参考相量）R-L-C串联交流电路--相量图先画出参考相量相量表达式：RLC电压三角形Z：复数阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗令则R-L-C串联交流电路中的

复数形式欧姆定律复数形式的欧姆定律RLC在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。

是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。

Z说明：RLC关于复数阻抗Z

的讨论由复数形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。（2）１）Z和总电流、总电压的关系２）Z

和电路性质的关系

一定时电路性质由参数决定当

时，表示u

领先i

－－电路呈感性当时，

表示u

、i同相－－电路呈电阻性当

时，表示u

落后i

－－电路呈容性阻抗角RLC假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！

当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。３）阻抗（Z）三角形阻抗三角形４）阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似R、L、C

串联电路中的功率计算1.瞬时功率2.平均功率

P

（有功功率）uRLCi总电压总电流u与i

的夹角平均功率P与总电压U、总电流I间的关系：-----功率因数

其中：

在R、L、C串联的电路中，储能元件R、L、C

虽然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：3.无功功率Q：4.视在功率S：

电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安、千伏安PQ（有助记忆）S注：S＝UI

可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）

视在功率5.功率三角形：无功功率有功功率电压三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLC正误判断因为交流物理量除有效值外还有相位。？RLC在R-L-C串联电路中？正误判断而复数阻抗只是一个运算符号。Z不能加“•”反映的是正弦电压或电流，正误判断在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流电路中？？？？？正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？？1

简单串并联电路交流电路的一般分析方法Z1Z2iZ1Z2Z1Z2iZ1Z2Y1、Y2

---导纳Y1Y2导纳的概念设:则:电导电纳导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子(s

)。导纳1）据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2）根据相量模型列出相量方程式或画相量图2一般正弦交流电路的解题步骤3）用复数符号法或相量图求解4）将结果变换成要求的形式例1已知：R1、R2、L、C求：各支路电流的大小LC原始电路LC相量模型解法一节点电位法A已知参数：节点方程由节点电位便求出各支路电流：解法二：叠加原理R1R2R1R2+解法三：戴维南定理求、BAZ例2下图中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的读数解题方法有两种：1.利用复数进行相量运算2.利用相量图求结果AAB

C25UOC1解法1:利用复数进行相量运算已知：I1=10A、

UAB=100V，则：A读数为10安求：A、UO的读数即：设：为参考相量，AAB

C25UOC1UO读数为141伏求：A、UO的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25UOC1解法2:利用相量图求解设：45°由已知条件得：、领先90°45°落后于I=10A、UO=141V由图得：求：A、UO的读数已知：I1=10A、UAB=100V，UC1=IXC1=100VuC1落后于

i90°AAB

C25UOC1关于复数阻抗Z

的讨论由复数形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。（2）１）Z和总电流、总电压的关系返回问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相量关系如下图。

uiRLCOSI当U、P

一定时，希望将COS提高§6.4功率因数的提高P=PR=UICOS其中消耗的有功功率为：例40W白炽灯40W日光灯发电与供电设备的容量要求较大

供电局一般要求用户的

，否则受处罚。

纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载

日光灯

（R-L-C串联电路）常用电路的功率