2023年九年级数学中考复习《圆》解答题专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆》解答题专题训练（附答案）1．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直径．2．如图，A是⊙O的直径CD延长线上的一点，点B在⊙O上，∠A＝∠C＝30°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2，求AC的长．3．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上．过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．（1）求证：BC平分∠ABD；（2）连接OD，若∠ABD＝60°，CD＝3，求OD的长．4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，AE是⊙O切线，且AE⊥CD的延长线于点E．（1）求证：DA平分∠BDE；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：∠E＝∠B；（2）连接AD，若CE＝4，BC＝8，求AD的长．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．7．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．8．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，DE是⊙O的切线，连接OD，OE（1）求证：∠DEA＝90°；（2）若BC＝4，写出求△OEC的面积的思路．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．10．如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC＝6，tan∠P＝，求BC的长．11．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM＝MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD＝，求的值．12．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM＝4，BE＝6，求AE的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若∠C＝30°，EF＝，求EB的长．14．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC＝∠DCE；（2）若AB＝2，sin∠D＝，求AE的长．15．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．16．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠DAE＝60°，AE＝3cm，求⊙O的半径．17．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半径．18．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF＝60°，AF＝4，求CE的长．19．如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为的中点，AC，BD相交于E点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于P点．（1）求证：∠PAC＝2∠CBE；（2）若PD＝m，∠CBE＝α，请写出求线段CE长的思路．20．如图，△ABC中，AC＝BC＝a，AB＝b，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线MN，交CB的延长线于点M，交AC于点N．（1）求证：MN⊥AC；（2）连接BE，写出求BE长的思路．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余∴∠BCD＝∠BAC．（3分）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠ACO＝∠BCD．（5分）（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，CE＝CD＝×24＝12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122（8分）解得R＝13，∴2R＝2×13＝26cm．答：⊙O的直径为26cm．（10分）2．（1）证明：如图，连接OB，∵＝，∴∠BOD＝2∠C＝60°，∴∠A+∠BOD＝30°+60°＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∵点B在⊙O上，∴AB是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴CD＝＝＝＝4，BD＝BC•tan30°＝2＝2，∵∠A＝∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝2，∴AC＝AD+CD＝6．3．（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵DC是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，∴OC⊥DC，∵BD⊥DC，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD，∴BC平分∠ABD；（2）解：连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，得矩形OCDG，∴OG＝CD＝3，在Rt△OBG中，∠ABD＝60°，OG＝3，∴sin60°＝，∴OB＝＝2，∴OC＝OB＝2，在Rt△OCD中，根据勾股定理得：OD＝＝＝．4．（1）证明：连接OA，∵AE是⊙O切线，∴∠OAE＝90°，∵AE⊥CD，∴OA∥DE，∴∠OAD＝∠ADE，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠ADE＝∠ADO，∴DA平分∠BDE；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，∵AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．∴DF＝FC＝DC＝3，∠OFD＝90°，∵∠OAE＝∠E＝90°，∴四边形AEFO是矩形，∴EF＝OA，AE＝OF＝4，∴DE＝EF﹣DF＝OA﹣3，在Rt△OFD中，根据勾股定理得：OD2＝OF2+DF2，∴OD2＝42+32，∴OD＝5，∴DE＝OA﹣3＝5﹣3＝2，在Rt△AED中，AD＝＝＝2，∴⊙O的半径为5，AD的长为2．5．（1）证明：如图，连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴∠EDC＝90°，∴∠OCD+∠ECD＝∠E+∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠B，∴∠E＝∠B；（2）解：如图，连接AD，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴DE＝＝＝8，∴BC＝DE＝8，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDE＝90°，∵∠B＝∠E，∴△ACB≌△CDE（ASA），∴AC＝CD＝4，∴AD＝＝4．6．（1）证明：连接OD；∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠3．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB＝∠ACB＝90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线．（2）解：过点D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，∴CD＝DE＝3．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，由勾股定理得：BE＝＝4，∵∠BED＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC．∴．∴．∴AC＝6．7．（1）证明：连接OT；∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC＝∠ATO；又∵OT＝OA，∴∠ATO＝∠OAT，∴∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC．（2）解：过点O作OM⊥AC于M，∴AM＝MD＝＝1；又∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°，∴四边形OTCM为矩形，∴OM＝TC＝，∴在Rt△AOM中，；即⊙O的半径为2．8．（1）证明：连接OD，∵△ABC是等腰三角形，∴CA＝CB，∴∠A＝∠B，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE，∴∠DEA＝90°；（2）解：连接CD，由BC是直径，得∠CDB＝∠CDA＝90°，∵由Rt△CDA中，BC＝AC＝4，∠A＝30°，∴CD＝AB＝2，AD＝CD＝2，∵由Rt△AED中，∠A＝30°，∴DE＝AD＝，AE＝DE＝3，EC＝AC﹣AE＝1，∴△EDC的面积＝＝＝，∵OD∥AC，∴△DEC的面积和△OEC的面积相等，∴△OEC的面积是．9．（1）证明：连接CD，∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，∴ED为⊙O切线，且∠ADC＝90°；∵ED切⊙O于点D，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC；∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝ED，∴AE＝CE，即E为AC的中点；∴BE＝CE；（2）解：连接OD，∵∠ACB＝90°，∴AC为⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，∴EO平分∠CED，∴OE⊥CD，F为CD的中点，∵点E、O分别为AC、BC的中点，∴OE＝AB＝＝5，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，∴DE＝AC＝＝4，在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，由三角形的面积公式得：S△EDO＝，即4×3＝5×DF，解得：DF＝2.4，在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．10．（1）证明：连接OD，如图，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，即∠ODB+∠PDB＝90°，∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠CDB＝∠PDB，∴DB平分∠PDC；（2）解：作BE⊥PD，如图，∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，∴BC＝BE，在Rt△PDC中，∵tanP＝＝＝，∴PC＝8，∴PD＝＝10，设BC＝x，则BE＝x，PB＝8﹣x，∵∠EPB＝∠CPD，∴Rt△PBE∽Rt△PDC，∴BE：DC＝PB：PD，即x：6＝（8﹣x）：10，解得x＝3，即BC的长为3．11．解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∴∠CED＝∠EDB+∠EBD＝2α，⊙D中，∵DC＝DE＝AD，∴∠CAD＝∠ACD，∠DCE＝∠DEC＝2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD＝180°，∴∠CAD＝＝；（2）设∠MBE＝x，∵EM＝MB，∴∠MEB＝∠MBE＝x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF＝90°，∴∠CED+∠MEB＝90°，∴∠CED＝∠DCE＝90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD＝180°，∴2∠CAD＝180°﹣90°＝90°，∴∠CAD＝45°；（3）由（2）得：∠CAD＝45°；由（1）得：∠CAD＝；∴∠MBE＝30°，∴∠CED＝2∠MBE＝60°，∵CD＝DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE＝DE＝EF＝AD＝，Rt△DEM中，∠EDM＝30°，DE＝，∴EM＝1，MF＝EF﹣EM＝﹣1，△ACB中，∠NCB＝45°+30°＝75°，△CNE中，∠CEN＝∠BEF＝30°，∴∠CNE＝75°，∴∠CNE＝∠NCB＝75°，∴EN＝CE＝，∴＝＝＝2+．12．（1）证明：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°．∴∠1+∠BAC＝∠2+∠BAC＝90°．∴∠1＝∠2．∵AB＝BC，∴∠ABC＝2∠1＝2∠2；（2）解：∵∠1＝∠2＝∠3，∠3＝∠4，∴∠2＝∠4．∵AB是直径，∴CE⊥AE，∵CM⊥AF，CM＝4，∴CE＝CM＝4，∵BE＝6，∴AB＝BC＝BE+EC＝10．在Rt△ABE中，．13．（1）证明：连接AD、OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC，∴CD＝DB，又CO＝AO，∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；（2）∵∠C＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠F＝30°，∴OA＝OD＝OF，∵∠AEF＝90°，EF＝，∴AE＝，∵OD∥AB，OA＝OC＝AF，∴OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4，∴EB＝3．14．解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB＝90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠DAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DAC＝∠B．∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB．又∵∠DCE＝∠OCB．∴∠DAC＝∠DCE．（2）∵AB＝2，∴AO＝1．∵sin∠D＝，∴OD＝3，DC＝2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD＝＝2．∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D，∴△DEC∽△DCA．∴，即．解得：DE＝．∴AE＝AD﹣DE＝．15．解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB＝90°；BE＝CE；＝；OD∥AC；（2）∵OD⊥BC，BE＝4，∴BE＝CE＝4，即BC＝2BE＝8，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理得：AB＝10，∴OB＝5，在Rt△OBE中，OB＝5，BE＝4，根据勾股定理得：OE＝3，则ED＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．16．（1）证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE＝∠DEM＝90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED＝90°，∠DAE＝60°，AE＝3cm，∴AD＝2AE＝6cm，连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°．∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴＝．∴＝，解得AC＝12．∴⊙O的半径是6cm．17．（1）证明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，∴∠PBD＝90°，∵PB＝3，DB＝4，∴PD＝5，∵PC和PB都是⊙O的切线，∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OD＝4﹣x，则22+x2＝（4﹣x）2，解得，x＝，即⊙O的半径是．18．（1）证明：连接OC，如图，∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE，∵点C是的中点，∴∠BAC＝∠EAC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA．∴OC∥AE．∴AE⊥DE；（2）解：连接BF交OC于G，如图