《基本不等式》一课一练（提高卷）

基本不等式(建议用时：20分钟)[提高卷]1．下列不等式一定成立的是()A．x＋eq\f(1,x)≥2 \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq\r(2)\f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq\f(4,x)≥22．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤33．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．4．设a，b为非零实数，给出不等式：①eq\f(a2＋b2,2)≥ab；②eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；③eq\f(a＋b,2)≥eq\f(ab,a＋b)；④eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.其中恒成立的不等式是________．5．已知a、b、c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).答案与解析一、选择题1．下列不等式一定成立的是()A．x＋eq\f(1,x)≥2 \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq\r(2)\f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq\f(4,x)≥2B[A项中当x<0时，x＋eq\f(1,x)<0<2，∴A错误．B项中，eq\f(x2＋2,\r(x2＋2))＝eq\r(x2＋2)≥eq\r(2)，∴B正确．而对于C，eq\f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)－eq\f(1,\r(x2＋4))，当x＝0时，eq\f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq\f(3,2)<2，显然选项C不正确．D项中取x＝1,2－3x－eq\f(4,x)<2，∴D错误．]2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3C[∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.]3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．2[xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]4．设a，b为非零实数，给出不等式：①eq\f(a2＋b2,2)≥ab；②eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；③eq\f(a＋b,2)≥eq\f(ab,a＋b)；④eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.其中恒成立的不等式是________．①②[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；②eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(2a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(a＋b2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为eq\f(a＋b,2)＝－1，右边为eq\f(ab,a＋b)＝－eq\f(1,2)，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]5．已知a、b、c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).[证明]∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ca)，∴eq\f(a＋b,2)＋eq\f(b＋c,2)＋eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，即a＋b＋