第五讲 统计检验及预测

回顾5、参数估计的最大似然法和矩法4、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计思考：在5%的显著性水平下，若通过样本得到了置信区间一个，如何解释？答：给定置信系数95%，从长远看，在类似于的固定区间含有真实值的概率不是1就是0。区间中，将有95个包含着真实的每100个的值；但这个特殊2.4一元线性回归模型的统计检验

2.5一元线性回归分析的应用：预测问题一、参数的区间估计二、拟合优度检验

三、变量的显著性检验

一、拟合优度检验二、变量的显著性检验三、条件均值与个别值的预测

一、拟合优度检验

拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。

回答样本回归直线对样本观测点拟合的多么好的度量

度量拟合优度的指标：判定系数（可决系数）R21、总离差平方和的分解

已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下样本回归直线

Y的第i个观测值可表述为如果Yi=Ŷi即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。

对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平方和（两边取平方后求和）,可以证明（P34页结论）：记总离差平方和（TotalSumofSquares）回归平方和（ExplainedSumofSquares）残差平方和（ResidualSumofSquares

）TSS=ESS+RSS

Y的观测值围绕其均值的总离差(totalvariation)可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自随机势力(RSS)。在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此

拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS2、可决系数R2统计量

称R2为（样本）可决系数/判定系数（coefficientofdetermination)。

可决系数的取值范围：[0，1]。R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。在例2.1.1的收入-消费支出例中，

注：可决系数是一个非负的统计量。它也是随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。

拟合优度0.9935说明X的变化可以解释Y的99.35%的变化。关于可决系数的说明可决系数只是说明列入模型的所有解释变量对被解释变量的联合的影响程度，不说明模型中各解释变量的单独的影响程度（在多元中）回归分析的主要目的如果是经济结构分析，不能只追求高的可决系数，而是要得到总体回归系数可信的估计量。可决系数高并不一定每个系数都可信任。如果建模的目的只是为了预测被解释变量的值，不是为了正确估计回归系数，一般可考虑有较高的可决系数。

二、变量的显著性检验

从拟合优度中看出，拟合优度越高，就说明样本回归线对观测值的拟合就越好，但这只是推测，解释变量对被解释变量是否有显著的线性影响需要我们去研究，这就是变量的显著性检验。

回归分析中，主要是针对变量前的参数真值是否为零来检验。

1、假设检验

先根据实际问题的要求提出一个论断，称为原假设，然后根据样本信息，看能得到什么结果，如果导致一个不合理的结果，拒绝原假设。判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的。注意这里的“接受和拒绝”

2、变量的显著性检验

如果变量X是显著的，那么参数应该显著的不为0

检验步骤：

（1）对总体参数提出假设H0：1=0，H1：10（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值（3）给定显著性水平，查t分布表，得临界值t/2(n-2)(4)比较，判断若给定显著性水平,则双侧检验的临界值为0t若|t|>t/2(n-2)，则拒绝H0，接受H1；（小概率事件发生）若|t|

t/2(n-2)，则接受H0；

对于一元线性回归方程中的0，可构造如下t统计量进行显著性检验：

在上述收入-消费支出例中，首先计算2的估计值

t统计量的计算结果分别为：

给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信度下显著，即是消费支出的主要解释变量；

|t0|>2.306,表明在95%的置信度下，拒绝截距项为零的假设。

92.34019.0670.0ˆ1ˆ11===bbSt20.345.4440.142ˆ0ˆ00-=-==bbSt一个“大”的是与虚拟假设相抵触的迹象。观察t分布表，当自由度为20或更大时，计算的t值如果是2.5或3或更大，则我们就不需要再查阅t分布表以评定所估的参数的显著性，它必定是要拒绝原假设，即该变量通过了显著性检验。当自由度小于20时，我们要查阅t分布表。注意1：注意2：显著性水平—犯第一类错误的概率——拒绝了真值的假设的概率经典假设检验方法的痛处—选择的武断用精确的显著性水平P值判断参数的显著性P值是根据既定的样本数据所计算的统计量与相应自由度下查到的临界值比较，得到的临界值和计算的统计量一样大或者更大的概率——拒绝原假设的最小显著性水平规则：时，值越小，越能拒绝原假设。如果数据不支持原假设，则在原假设下得到的值将会很“大”，得到这样一个的值的p值就很“小”。固定在一定的水平上将再回到区间估计给定显著性水平整理可以得到的置信度下的置信区间是通过变量的显著性检验，我们知道

由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。

要缩小置信区间，需

（1）增大样本容量n，因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小

（2）提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。回归分析结果的报告经过模型的估计、检验，得到一系列重要的数据，为了简明、清晰、规范的表述这些数据，计量经济学通常采用以下规范化的方式：标准误差SE估计的t统计量可决系数和自由度F统计量DW统计量估计的样本回归函数计量经济预测是一种条件预测：模型设定的关系式不变所估计的参数不变解释变量在预测期的取值已作出预测对被解释变量的预测分为：平均值和个别值预测对被解释变量的预测又分为点预测和区间预测预测的类型2.5一元线性回归分析的应用：预测问题预测值、平均值、个别值的关系PRFSRF点预测值真实平均值个别值是真实平均值预测值的点估计，也是个别值预测值的点估计。总体条件均值的区间估计必须找出与和都有关的统计量由于存在抽样波动，预测的值不一定等于真实总体条件均值。基本思想：具体做法：从的分布分析)))(1(,(~ˆ2202F10Få-++ixXXnXNYsbb于是，在1-的置信度下，总体均值的置信区间为

个别预测值的置信区间基本思想：是真实平均值的点估计，也是个别值的点估计。由于存在随机扰动项的影响，Y的条件均值并不等于Y的个别值。为了对Y的个别值做区间预测，需要寻找与预测值和个别值有关的统计量，并要明确其概率分布。于是

具体做法：已知残差项是与预测值和个别值都有关的变量，并且已知服从正态分布式中:从而在1-的置信度下，个别值Y0的置信区间为

被解释变量点估计与区间估计的特点Y的总体条件均值的预测值与真实的总体条件均值有误差，主要是受抽样波动影响。

Y个别值的预测值与真实个别值的差异，不仅受抽样波动影响，而且还受随机扰动项的影响。总体条件均值和个别值的预测区间都不是常数，是随XF的变化而变化。预测区间上下限与样本容量有关，样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；当样本容量n趋近于无穷时，个别值的预测误差只决定于随机扰动项的方差。若对于前面的例子，我们得到了总体均值的95%的置信区间为

给定在重复抽样中，每100个类似于(533.05，814.62)的区间将有95个包含着真实的均值。如何解释？如果我们对每一个X值求类似于(533.05，814.62)的95%的置信区间，把这些区间的端点连接起来，我们就得到如图所展示的一个关于总体回归函数的置信带。如果我们对每一个X值求类似于（372.03，975.6