第四讲跨期优化new

宏观经济学之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文缘起哈罗德-多马模型（刀刃上的均衡）索罗-斯旺模型只有两种生产要素：资本K和劳动L。两者按照一个固定的比例投入生产，不能相互替代。两种生产要素可相互替代，且规模报酬不变。2轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文拉姆赛们的兴趣拉姆赛Ramsey(EJ,1928)卡斯Cass(RES,1965)库普曼Koopmans(1965)他们发现了什么？哈罗德-多马模型与索罗模型有一个共同点外生储蓄率：S(t)=sY(t)3轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文外生储蓄率意味着什么？提示：从家庭收入的分配看S(t)=sY(t)也就意味着：C(t)=（1-s）Y(t)也即是说人们是按照收入的固定比例进行消费的Y(t)=C(t)+S(t)合理吗？不合理4轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文那么该怎么办？储蓄率内生化拉姆赛们该怎么做呢？从何入手呢？从消费入手如何内生化于是拉姆赛们开始构建无限期界模型5轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文FrankPlumptonRamsey

（1903-1930，英国数学家、经济学家）著作《对税收理论的一个贡献》、《一个关于储蓄的数学理论》等，其经济思想已包括在1987年获诺奖的索洛《对经济增长理论的一个贡献》。他是维特根斯坦和罗素的在抽象思维方面无可匹敌的朋友，他同时还是一位获得了凯恩斯和哈罗德极大尊重的经济学家一位被认为是在哥德尔之前对数学基础和数理逻辑有着卓而不群思考的数学家一位为求解一道难题而发明了至今仍吸引着数学家们热情研究的“拉姆齐理论”但那道难题本身却被后来的数学家证明是不可能求解的数学家。6轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文"MrKeynesandProbability",1922,CambridgeMagazine

"TheDouglasProposals",1922,CambridgeMagazine

"ReviewofW.E.Johnson'sLogic,PartI",1922,NewStatesman

"CriticalNoticeofL.Wittgenstein'sTractatus",1923,Mind

"ReviewofOgdenandRichards'MeaningofMeaning",1924,Mind

"TheNewPrincipia"1925,Nature

"Universals",1925,Mind

"TheFoundationsofMathematics",1925,Proc.ofLondonMathem.Soc.

"MathematicalLogic",1926,EncyclopaediaBritannica

"UniversalsandtheMethodofAnalysis",1926,AristotelianSociety

"MathematicalLogic",1926,MathematicalGazette

"TruthandProbability",1926."AContributiontotheTheoryofTaxation",1927,EJ

"FactsandPropositions",1927,ArisotelianSociety

"AMathematicalTheoryofSaving",1928,EJ."FurtherConsiderations",1928."OnaProblemofFormalLogic",1928,Proc.ofLondonMathem.Soc.

"FoundationsofMathematics",EncyclopediaBritannica

TheFoundationsofMathematics:andotherlogicalessays,1931.7轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文讲在无限期界之前——从一个两时跨期优化模型开始假设：最优化包含两个时期。第二个时期结束时的正的财富不产生效用，因此家庭在第二个时期用光了他们所有的储蓄；在两个时期中，家庭都提供固定数量的劳动，从而获得一份不变的工资；货币可以以某个市场利率进行投资和借贷，家庭必须能在第二个时期完全偿还自己的债务。8轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文第一个时期的消费第二个时期的消费利率第一个时期的劳动收入第二个时期的劳动收入最优化问题开始时的财富9轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文下一步？提示：消费两个时期将消费在两个时期分配该怎么做？10轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文回忆索罗模型，提得最多的是什么？拉姆赛们要怎么做呢？消费如何在两期分配，并用消费增长率表示出来增长率11轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文两时期模型中，消费的增长：12轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文我们还忽略了什么？提示：只有两期也即是说第二期的消费存在一个约束第二期要花完13轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文约束会有几种情况？两种情况第一期钱不够第一期有结余14轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文预算约束（budgetconstraint）部分投资：部分贷款：c1c2预算约束线ABE15轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文刚刚分析了总消费量的预算约束钱如何在两期分配下一步？怎么选择？比较大小怎么比较？定义：效用16轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文定义效用今天消费带来的效用将来消费带来的效用效用：商品满足人的欲望的能力，或者消费者在消费商品时所感受到的满足程度17轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文两期效用的差别：什么偏好？时间偏好差别受什么影响？个人偏好人们对时间等待存在厌恶18轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文指今后收到或支付的款项折算为现值的利率。-无忍耐性：个体不愿为消费等太长时间。-时间水平线：个体不能进行长期计划，距现在越远的东西，越少被包括在现在的决定中。-不确定性：将来的计划总包含不确定性。贴现率用什么来反映人们对时间等待的厌恶19轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文定义效用今天消费带来的效用将来消费带来的效用效用：商品满足人的欲望的能力，或者消费者在消费商品时所感受到的满足程度进一步，写成两期效用的关系：贴现率将来的消费带来的今天的效用20轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文这时候两期的效用可比了。怎么做？两种商品数量的选择于是，消费在两期中选择便转化为另外一个问题。什么问题？1.预算约束2.无差异曲线3.相切21轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文消费的效用递减对于每个家庭，额外的消费带来额外的效用，并且消费的边际效用递减。cU22轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文简单的效用函数如下：无差异曲线：连接了具有同样效用水平的点。c1c2U0U1U223轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文无差异曲线特征：(1)斜率为负(2)离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高(3)任何两条无差异曲线都不可能相交(4)无差异曲线凸向原点c1c2U0U1U2AB24轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文跨期替代的弹性跨期的替代弹性：c1c2U0U1U2AB反应了无差异曲线的斜率变化对消费比率的影响程度25轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文凯恩斯－拉姆齐规则对数效用函数无差异曲线的斜率：预算约束线斜率：26轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文c1c2E最优点()无关曲线，斜率：27轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文消费的增长率凯恩斯－拉姆齐规则最简单的形式一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率28轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文CES效用函数无差异曲线的斜率：预算约束线斜率：29轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率至此，大家联系以前学过的凯恩斯、哈罗德、索罗等相关模型，发现了什么？这里就在谈消费，没那些个模型什么事！就是消费自个儿在玩~轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文30回顾：索罗动态过程轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文31y1F[k1,1]=y2=F[k2,1]I1/L1=S1/L1=sy1(K2-K1)/L1=I1/L1K2/L1-k1=sy1（L2–L1

）/L1=nK2/(L2/(1+n))-k1=sy1(1+n)k2-k1=sy1k2-k1=sy1-nk2k2=（sy1+k1）/(1+n)产出投资资本变化产出变化演化过程轻松学宏观之索罗模型北京工商大学经济学院熊文32Y1C1S1I1K1L1Y2C2S2I2K2L2利率的确定稳态时若考虑资本折旧以及人口增长凯恩斯－拉姆齐规则的一般形式33轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文回忆索罗模型EK*ABCsf(k)f(k)(n+δ)kkk人均消费人均储蓄34轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文资本积累的黄金法则对于给定的n和δ，对应于每个储蓄率s存在唯一的稳定状态k*=k*(s),k*>0,

dk*(s)/ds>0问题：寻找一个使长期人均消费最大化的增长率。稳定状态的人均消费

35轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文黄金法则的分析[1]消费增长率：当消费最大时：资本积累的黄金法则36轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文资本积累的黄金法则黄金法则的经济学意义：如果一个经济发展的目标是使人均消费最大，那么在技术和劳动增长率不变时，人均资本的边际产品应等于人口增长率与折旧率之和37轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文k人均产出等(n+δ)kf(k)kgsgf(k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*38轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文Ramsey-cass-koopmans模型kckGRcGRBgk<0gk>0稳态的消费：黄金率39轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文kc当gc=0时kKRk<kKRgc>0gc<0k>kKRgc=040轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文模型的动态学41轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文模型的动态学利用相图，可以研究c、k初始值给定，经济的增长路径

k初始值已经给定，关键在于c的初始值如何确定。42轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文模型的动态学43轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文模型的动态学唯一可能路径：44轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文kKRgc=0OAA’A’’BB’B’’kc45轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文回顾：拉姆赛--发现：储蓄率外生不合理思考：如何内生化？收入：消费与储蓄从消费入手两期模型（从简单开始）消费在两期的分配预算约束无差异曲线（效用）最大化两个斜率46轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文无限期界模型家庭效用的描述两期模型无限期界每一时期效用的加总47轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文采用常相对风险厌恶的效用函数：瞬时效用函数48轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文无限期界模型瞬时效用函数无限期界49轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文回顾：下一步？预算约束收入资本收益与劳动所得50轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文家庭决策行为家庭目标函数：

约束条件：一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生劳动收入的现值。51轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文约束52轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文二、家庭与厂商的行为预算约束构造拉格朗日函数：对c(t)求导数，得到一阶条件为：常规方法二、家庭与厂商的行为两边取对数，再对t求导数，有：

上式即欧拉方程已知，C(t)=c(t)A(t)则：模型的动态学c的动态学55轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文模型的动态学56轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文模型的动态学k的动态学57轻松学宏观之跨期优化模型北京工商大学经济学院熊文k人均产出等(n+δ)kf(k)kgsgf(k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*58轻松学宏观之跨期优