2021-2022学年福建省福州市私立星华中学高三数学文月考试题含解析

2021-2022学年福建省福州市私立星华中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线截圆得到的劣弧所对圆心角等于（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：C2.在的展开式中，含项的系数是A．119

B．120

C．121

D．720参考答案：B3.设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左，右焦点，点P（，）在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率P等于(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：点P在双曲线上，所以带入双曲线方程可得

①，而根据PF1⊥PF2得到

②，所以由①②再结合b2=c2﹣a2即可求出a，c，从而求出离心率．解答： 解：根据已知条件得：；解得；∴解得；∴双曲线C的离心率为：．故选B．点评：考查双曲线的标准方程，点在曲线上时，点的坐标和曲线方程的关系，以及两点间的距离公式，c2=a2+b2．4.设是边长为l的等边三角形，是边上的一点，从作垂足为从作垂足为从作垂足为如此继续下去，得到点列当时，点的极限位置是点，则

(

)A.l∶l

B.2∶1

C.1∶2

D.1∶3

参考答案：C略5.函数的图象大致为（

）

参考答案：A6.已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为

（

）A．3

B．π-3

C．3-

D．-3参考答案：C7.函数是(

) A．奇函数且在上是减函数

B．奇函数且在上是增函数

C．偶函数且在上是减函数

D．偶函数且在上是增函数参考答案：B8.tan150°的值为()A.B．－

C.

D．－参考答案：B略9.已知下面四个命题：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C试题分析：由于，，,,所以正确命题有①，②，④，选．考点：1．平面向量的线性运算；2．平面向量的数量积．10.某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么可推知方程解的个数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，

用一段铁丝从几何体的A处缠绕几何体两周到达B处，则铁丝的最短长度为________________．参考答案：略12.已知是定义域为R的奇函数，且，当:c>0时，，则不等式的解集为

．参考答案：13.i是虚数单位，计算等于

。参考答案：略14.己知x，y满足约束条件的最小值是

.参考答案：

15.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式组的解集用区间表示为

．参考答案：(－5,0)由f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=-f(-x)=-x2-4x＞x解得

16.若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=．参考答案：x2（x≥0）

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；反函数．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可．解答：解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=，所求幂函数为：y=，x≥0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）点评：本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用．17.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_____。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；（Ⅱ）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．参考答案：【分析】（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、由题意证得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．求出P的坐标，再求出平面PDC的一个法向量，由图可得为面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB；（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，解得．则，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使.（Ⅰ）求证：平面AOD⊥ABCO；（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，

∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………（1分）

取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………（2分）

又DH⊥OA,OA∩BH=H……………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………（4分）

而DH∈平面AOD，…………………（5分）

∴平面AOD⊥平面ABCO.…………（6分）（Ⅱ）解：分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.∴……（7分）设平面ABD的一个法向量为由得即令则，取………………（9分）设为直线BC与平面ABD所成的角，则

………（11分）即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为………（12分）20.（12分）已知函数．（1）若a=3，求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)只有一个零点．参考答案：解：（1）当a=3时，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f′（x）>0；当x∈（，）时，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．21.已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1(0，－2)，且离心率e满足：，e，成等比数列．抛物线C的顶点在原点，其焦点在椭圆的右顶点(1)求椭圆及抛物线C的方程；(2)若圆M的圆心在抛物线C上，且与两坐标轴都相切，求圆M的方程

参考答案：22.（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．参考答案：考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式．分析：（1）由条件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论．解答： 证明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．而a，b均为